Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Ver Teoria

Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

b) lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = cos ⁡ x - 1 e x - 1 para x → 0 .

Parece complicado? 😬

Se simplesmente tentássemos substituir x por 0 iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ d cos ⁡ x - 1 d x d e x - 1 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d cos ⁡ x - 1 d x = - sin ⁡ x

d e x - 1 d x = e x

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x e x

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x e x = - sin ⁡ 0 e 0

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que se underset(n - oo)(l i m) a_n = 0 e {b_n} for limitada, entãounderset(n - oo)(l i m) (a_n b_n) = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que nN. Com
Prove o Teorema 3.