Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule, justificando, o limite da seguinte sequência

x n = n n n

Passo 1

Vamos primeiro escrever isso de uma forma mais bacana:

x n = n 1 n 1 n = n 1 n 2

Humm, então o limite é:

lim n → ∞ ⁡ n 1 n 2

Então, aquela famosa propriedade de funções inversas, vamos usar isso pra exponencial e logaritmo neperiano:

f x = e ln ⁡ f x

Assim fica:

lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n n 2 = e l i m n → ∞ ln ⁡ n n 2

l i m n → ∞ ln ⁡ n n 2 = ?

Da pra ver a inderteminação de ∞ ∞ , logo, por L’Hospital:

l i m n → ∞ ln ⁡ n n 2 = l i m n → ∞ 1 2 n 2 = 0

Assim:

lim n → ∞ ⁡ n 1 n 2 = e 0 = 1

Resposta

lim n → ∞ ⁡ n 1 n 2 = 1

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