Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

USP, Cálculo 4, P1 - 2010, Questão 1a

Determine se a sequência a n n N converge, e em caso afirmativo, calcule o limite:

a n = 1 - 2 sen 1 n 3 n

Passo 1

Beleza, pra uma sequência convergir, sabemos que:

lim n a n = L

Onde L é um número real, então é isso que precisamos verificar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então fica assim:

lim n 1 - 2 sen 1 n 3 n = ?

Então aqui vai um paranauê, nós sabemos que logaritmo neperiano e exponencial são funções inversas uma da outra, então essa propriedade é válida:

f x = e ln f x

“Pra que isso serve?” Vamos mostrar agora! Faça isso para a n :

lim n 1 - 2 sen 1 n 3 n = lim n e ln 1 - 2 sen 1 n 3 n

“ E isso facilitou?!” Sim sim, olha essa propriedade do logaritmo:

ln A n = n . ln A

Vamos usar isso agora:

lim n e ln 1 - 2 sen 1 n 3 n = lim n e 3 n . ln 1 - 2 sen 1 n = e l i m n   ln 1 - 2 sen 1 n 1 3 n

Colocamos dessa forma porque agora virou uma indeterminação, 0 0 , dessa forma podemos aplicar o famoso L”Hospital!Vamos só resolver o limite, mas não esqueça da exponencial! Deriva ae galera:

l i m n   ln 1 - 2 sen 1 n 1 3 n = l i m n 1 1 - 2 sen 1 n . - 2 cos 1 n - 1 n 2 - 1 3 n 2 = - 3 l i m n 2 cos 1 n 1 - 2 sen 1 n

Então ficou fácil galera!

- 3 l i m n 2 cos 1 n 1 - 2 sen 1 n = - 3   . 2.1 1 - 2.0 = - 6

Então fica:

lim n 1 - 2 sen 1 n 3 n = e - 6

Logo o limite existe! E é e - 6

Resposta

lim n 1 - 2 sen 1 n 3 n = e - 6

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