Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 646, exemplo 9

Discuta a convergência da sequência a n = n ! / n n , onde n ! = 1 2 3 n .

Passo 1

Em geral, quando se tem fatorial na expressão geral de uma sequência, é uma boa compará-la com outras sequências. Vamos tentar, então, aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos reescrever a expressão do a n .

n ! n n = 1 n 2 3 4 n n n n n n - 1   termos

Já que n ! n n - 1 (pois n é o maior termo de n ! ), então:

2 3 4 n n n n n 1

Temos, assim:

n ! n n = 1 n 2 3 4 n n n n n 1 n

Certo, agora precisamos de um limite inferior. Já que n ! assim como n n devem ser positivos, podemos afirmar que:

0 n ! n n 1 n

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Passo 2

O limite inferior já sabemos que é zero, agora precisamos calcular o superior.

lim n 1 n = 0

Como ambos os limites são zero, sabemos que lim n a n = 0 .

Resposta

lim n a n = 0 e a sequência converge.

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