Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Sejam a n n ∈ N e b n n ∈ N sequências de reais e considere as seguintes afirmações:

(I) Se a n n ∈ N e b n n ∈ N são ambas divergentes então a n + b n n ∈ N diverge.

(II) Se a n é convergente, então a n é limitada.

(III) Se a n é crescente e diverge então lim n → ∞ ⁡ a n = + ∞ .

(IV) Se lim n → ∞ ⁡ a n 2 = 1 então a n 2 - 1   s e n   a n n ∈ N pode divergir.

São verdadeiras as afirmações:

a) (II) e (III).

b) (I) e (III).

c) (II) e (IV).

d) (I) e (II).

e) (III) e (IV).

Passo 1

Partiu fazer mais uma questão? Bora!!!

Esse é um exercício sobre sequências. Temos duas sequências reais a n n ∈ N e b n n ∈ N e temos que considerar algumas afirmativas.

A afirmativa (I) diz que se a n n ∈ N e b n n ∈ N forem ambas divergentes, então a soma a n + b n n ∈ N será divergente.

Eu sei que você deve pensar que a soma de duas coisas que divergem também diverge, mas não é bem assim...

Por exemplo, considere as sequências

a n = 1 n 2 - n

b n = n

As duas sequências são divergentes, pois

lim n → ∞ ⁡ a n = - ∞

lim n → ∞ ⁡ b n = + ∞

Mas a soma é

a n + b n = 1 n 2

Note que a soma converge:

lim n → ∞ ⁡ a n + b n = 0

Com isso, vemos que a afirmativa (I) não é necessariamente verdadeira! Já eliminamos as alternativas B e D.

Passo 2

A afirmativa (II) diz que se a n converge, então a n é limitada. Essa afirmativa é verdadeira! Pense assim, se a sequência converge, então quando n → ∞ , a n → L real.

Se a sequência não explode quando n → ∞ , então ela não explode nunca. Sendo assim, ela é limitada!

Agora, as possíveis respostas estão nas alternativas A ou C.

Passo 3

Vamos olhar para a afirmativa (IV) antes da (III). Ela diz que se lim n → ∞ ⁡ a n 2 = 1 então a n 2 - 1   s e n   a n n ∈ N pode divergir. Essa afirmativa é completamente falsa!

Se lim n → ∞ ⁡ a n 2 = 1 , então

lim n → ∞ ⁡ ( a n 2 - 1 ) = 0

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ a n 2 - 1   s e n   a n = 0

Para verificar que esse limite é zero usamos o teorema do confronto: o limite doo produto de uma função que tende a zero por uma limitada é sempre nulo!

Assim, a sequência a n 2 - 1   s e n   a n converge! Como essa afirmativa é falsa, já sabemos que a alternativa correta é a alternativa A 😊

Passo 4

Por eliminação já temos nossa alternativa, mas de qualquer forma, vamos justificar porque a afirmativa (III) é verdadeira! Ela diz que se a n é crescente e diverge então lim n → ∞ ⁡ a n = + ∞ .

Isso é fácil de enxergar: como a sequência é crescente, ela vai sempre aumentando. Se uma sequência diverge ela pode tender para ± ∞ . Mas se ela é crescente, ela não pode ir para - ∞ . Com isso, a única saída é

a n → ∞

Confirmamos então que as afirmativas corretas são (II) e (III)!

Resposta

Alternativa A.

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