Exercícios Resolvidos de Teorema Impulso-Momento Linear

Considere uma bola de tênis e uma bola de boliche que serão arremessadas na sua direção para que você as agarre. Se as bolas tem a mesma energia cinética quando chegam a você, para fazê-las parar completamente é correto afirmar que:

(a) O módulo do impulso e o trabalho que você deve realizar serão os mesmos sobre a bola de tênis e sobre a de boliche.

(b) Tanto o módulo do impulso quanto o trabalho que você deve realizar serão menores sobre a bola de tênis do que sobre a bola de boliche.

(c) O trabalho que você deve realizar será o mesmo para ambas as bolas mas o módulo do impulso sobre a bola de boliche será maior do que sobre a de tênis.

(d) O módulo do impulso necessário será a mesmo para ambas as bolas mas o trabalho realizado sobre a bola de boliche precisará ser maior.

(e) O módulo do impulso necessário será maior sobre a bola de tênis mas o trabalho realizado deverá ser maior sobre a bola de boliche.

Passo 1

Temos uma bola de tênis e uma bola de boliche, ambas com a mesma energia cinética.

Olhando rapidamente as alternativas, vemos que precisamos comparar o trabalho e o impulso necessários para parar cada uma das bolas.

Então, vamos tentar achar alguma relação com a única informação que temos, que é sobre a energia cinética deles.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o trabalho, repara que temos um teorema que casa muito bem com a situação.

O teorema trabalho-energia cinética relaciona o trabalho da força resultante com a variação de energia cinética do corpo:

W R = ∆ K

Então, vamos considerar que o trabalho da força que aplicamos nas bolas será a variação de energia cinética delas:

W F = ∆ K

Mas pensa comigo, se as duas bolas têm a mesma energia cinética inicial K :

K T = K B = K

As variações de energia cinética das duas quando elas param também é igual:

∆ K T = ∆ K B = K f - K

∆ K T = ∆ K B = 0 - K

∆ K T = ∆ K B = - K

Logo, pelo teorema, o trabalho exercido sobre cada uma delas será o mesmo:

W F = - K

W T = W B = - K

Descobrimos que o trabalho nos dois casos será igual, mas e o impulso?

Passo 3

Para analisar o impulso, podemos pensar em:

I = F ∆ t

Mas não sabemos nem o tempo de contato total, nem os módulos das forças, ou mesmo se elas são constantes ou variáveis em cada um dos casos.

Então temos que recorrer a um outro caminho.

Lembra do teorema impulso-momento linear?

I = ∆ p

Vamos tentar comparar as variações de momento linear ∆ p em cada caso, que conseguimos comparar os impulsos I .

Passo 4

Momento linear é dado por:

p = m v

Vamos chamar a massa da bola de tênis de m e sua velocidade de v T e a massa da bola de boliche de M e sua velocidade de v B , então seus momentos lineares iniciais serão:

p T = m v T p B = M v B

Além disso, vamos partir da relação de que suas energias cinéticas são iguais:

K T = K B

m v T 2 2 = M v B 2 2

v T 2 = M m v B 2

v T = M m v B

Substituindo esse valor no momento linear, temos:

p T = m v T

p T = m M m v B

Vamos tentar melhorar isso jogando a massa m para dentro da raiz. Lembrando que ela vai entrar elevada ao quadrado:

p T = m 2 M m v B

p T = M m v B

Passo 5

Agora que relacionamos os dois momentos sobre as mesmas velocidades, vamos compará-los:

p T = M m v B p B = M v B

Repara que os dois momentos lineares têm um termo multiplicando a velocidade v B . Qual dos dois é maior?

Precisamos de um pouquinho de matemática.

Quem é maior?

M m ou M

Se aquele produto de dentro da raiz fosse igual a M 2 , a raiz disso seria o próprio M . Entretanto, como a massa da bola de tênis m é menor que a massa da bola de boliche M :

m M < M 2

Então a raiz desse termo também será menor que a raiz de M 2 :

m M < M 2

Assim, descobrimos que:

m M < M

Logo, o momento linear da bola de tênis será menor que o da bola de boliche:

p T < p B

Então a variação ∆ p será maior sobre a bola de boliche do que sobre a bola de tênis, consequentemente, o impulso sobre a bola de boliche será maior que o impulso sobre a bola de tênis:

I B > I T

Ficamos com a letra (c)

Resposta

Letra (c)

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