Exercícios Resolvidos de Teorema Impulso-Momento Linear

Origem do Exercício

Um corpo é arremessado diversas vezes em um plano horizontal sem atrito contra uma parede vertical, com a mesma energia cinética inicial, porém de uma posição diferente, a cada vez.

A figura 2 mostra uma vista superior das trajetórias descritas pelo corpo em cada lançamento, designadas por 1 , 2 e 3 .

Sejam J 1 → , J 2 → e J 3 → os impulsos produzidos pela parede sobre o corpo referentes às trajetórias 1 , 2 e 3 respectivamente. Assinale a alternativa correta:

  1. J 3 > J 2 > J 1
  2. J 1 > J 2 > J 3
  3. J 2 > J 3 > J 1
  4. J 3 > J 1 > J 2
  5. J 2 > J 1 > J 3
  6. J 1 > J 3 > J 2

Passo 1

O impulso produzido pela parede sobre o corpo corresponde à variação do momento linear do corpo.

J → = Δ p →

Separando as componentes, temos:

J x = Δ p x = m v x ,   f - v x ,   i

Digamos que o corpo faça um ângulo β com a normal à parede antes e depois da colisão e a magnitude da velocidade inicial é v i e a da final é v f . Neste caso, v x , f = v f sen ⁡ β e v x , i = v i sen ⁡ β .

J x = m ∙ sen ⁡ β v f - v i

Agora ao longo do eixo y :

J y = Δ p y =   m v y ,   f - v y ,   i

Pelo ângulo, v y , f = v f cos ⁡ β e v y , i = - v i cos ⁡ β . Neste caso, v y , i recebe um sinal de menos pois o seu sentido é oposto ao do eixo y ! Isso significa que o impulso fica:

J y = m ∙ cos ⁡ β v f - - v i

J y =   m ∙ cos ⁡ β v f + v i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora... pra que serve as expressões anteriores?

Bem, a razão é a seguinte. Se considerarmos a colisão como sendo totalmente elástica, nenhuma energia cinética é perdida, e por isso v f = v i = v .

J x = 0

J y = m v �� 2 cos ⁡ β

Como o impulso ao longo do eixo x é zero, o módulo do impulso é J = J y . Mas quanto menor o ângulo β que a partícula faz com a normal ao plano de colisão maior o valor do coseno (considerando 0 ≤ β ≤ 90 ° ) e, consequentemente, maior o módulo do impulso.

Para cada caso, o ângulo seria:

3 → θ

1 → γ + θ

2 → α + γ + θ

Logo, teríamos o seguinte:

J 3 > J 1 > J 2

Que é a letra (d).

Passo 3

Só um probleminha no que fizemos antes: Em nenhum momento ele fala que a colisão é elástica. Bem, isso poderia ser um problema. Mas não é.

Esse terceiro passo é opcional, e ele não vai afetar a resposta final, só vai complementar o raciocínio anterior. Não precisa ler se não quiser!

Lembra que eu falei do ângulo com a normal que o corpo faz depois da colisão é igual ao ângulo antes da colisão? Bem, a figura do próprio enunciado nos diz a mesma coisa. Então valem as nossas fórmulas anteriores.

Além disso, como o corpo perde energia cinética, a velocidade final e a inicial são diferentes e J x ≠ 0 .

J x = m ∙ sen ⁡ β v f - v i

J y =   m ∙ cos ⁡ β v f + v i

O módulo do impulso então vai ser:

J = J x 2 + J y 2 = m 2 sen 2 ⁡ β v f - v i 2 + m 2 cos 2 ⁡ β v f + v i 2

J = m sen 2 ⁡ β v f - v i 2 + cos 2 ⁡ β v f + v i 2

Abrindo os termos:

sen 2 ⁡ β v f - v i 2 = sen 2 ⁡ β v f 2 - 2 v f v i + v i 2 cos 2 ⁡ β v f + v i 2 = cos 2 ⁡ β v f 2 + 2 v f v i + v i 2

Agora, somando os dois e, lembrando que sen 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ β = 1 , temos:

J = m v f 2 + v i 2 + 2 v f v i ∙ cos 2 ⁡ β - sen 2 ⁡ β

A trigonometria tem algo muito importante a nos dizer, chamada coseno da soma.

cos ⁡ 2 β = cos 2 ⁡ β - sen 2 ⁡ β

O que significa que o módulo do momento fica:

J = m v f 2 + v i 2 + 2 v f v i ∙ cos ⁡ 2 β

E de novo, quando β diminui, cos ⁡ 2 β aumenta e o impulso aumenta. Quando β aumenta, cos ⁡ 2 β vai diminuindo, inclusive atingindo valores negativos.

O que nos diz que embora a equação tenha mudado, a resposta não mudou!

Resposta

Letra (d)

d )   J 3 > J 1 > J 2

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