Exercícios Resolvidos de Teorema Impulso-Momento Linear

USP, Física 1, P2 - 2012, Questão 4

Uma corrente de densidade linear λ constante, comprimento L = 10,0   m e massa M = 0,5   k g está sobre uma mesa horizontal cujo comprimento é ligeiramente inferior a L de modo que uma pequena parte da corrente, de comprimento desprezível, fica pendurada. A parte da corrente que está sobre a mesa começa aos poucos a deslizar sem atrito. Pede-se calcular:

(a) o trabalho realizado pela força gravitacional quando o comprimento da parte pendurada atinge d = 2,0   m (item 2) da figura.

(b) a velocidade da corrente no instante em que a parte pendurada d é igual a 2,0   m .

(c) a aceleração quando d = 2,0   m .

(d) Supondo agora que a corrente tenha escorregado completamente da mesa como mostra a figura acima (item 3), pede-se calcular a força exercida pelo solo sobre a corrente (força normal) após a corrente ter escorregado uma distancia x igual a 2,0   m , como indicado pela figura acima (item 4). Suponha para tanto que a velocidade inicial com que a corrente começa a cair é nula.

Obs: Considere g = 10   m / s 2

Passo 1

(a)

O trabalho realizado pela força gravitacional é por definição igual a:

W 1,2 = 1 2 F . d r = 0 d F . d y

Como a massa é variável, a força também será, portanto temos que:

F = m g

Onde:

m = y . λ

e λ é a densidade linear da corrente. Portanto;

W 1,2 = 0 d λ g y   d y

W 1,2 = M L g . y 2 2 0 d

W 1,2 = M L g . d 2 2

Substituindo os dados:

W 1,2 = 0,5 10 . 10 . 2 2 2

W 1,2 = 1   J

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Usando o teorema do trabalho e energia cinética, temos que o trabalho realizado pela força gravitacional vai ser igual a variação da energia cinética, visto que não tem atrito e portanto a energia mecânica é conservada. Ficará assim:

1 2 M V f 2 - 1 2 M V i 2 = 0 d F . d y

Lembrando que a energia cinética inicial é nula.

1 2 M V f 2 = 0 d λ g y   d y

No item anterior já calculamos o trabalho da força gravitacional.

1 2 M V f 2 = 1

V f = 2 M

Substituindo os dados:

V f = 2 0,5

V f = 2   m / s

Passo 3

(c)

A aceleração pode ser calculada pela segunda lei de Newton, ou seja:

F = M a

a = F M

a = m g M

Lembrando que:

m = d . λ

m = d . M L

Substituido:

a = d . M L . g M

a = d g L

Substituindo os dados do problema:

a = 2   .   10 10

a = 2   m / s 2

Passo 4

(d)

A força exercida pelo solo é por definição igual a:

F = d P d t = d m V d t

Entretanto, a massa da corda que está em contato com a corda corresponde a distância x da figura 4, pois é este comprimento de corda que está enrolado no chão. Então:

F = d x λ V d t = M L d x V d t  

Tanto a distância x quando a velocidade V dependem do tempo. Então temos que aplicar a regra do produto nessa derivada, ficará assim:

F = M L V d x d t + x d V d t

Entretanto, sabemos também que d x d t corresponde a velocidade, e que d V d t corresponde a aceleração, que no nosso caso é a gravidade. Então:

F = M L V 2 + x g

Porém temos pela fórmula:

V f 2 = V i 2 + 2 a Δ S

Substituindo:

V 2 = 2 g x

Logo temos que:

F = M L 2 g x + g x = 3 g x M L

Substituindo os dados do problema:

F = 3 .   10 .   2   . 0,5 10

F = 3   N

Resposta

(a) W 1,2 = 1   J

(b) V f = 2   m / s

(c) a = 2   m / s 2

(d) F = 3   N

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