Exercícios Resolvidos de Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

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Enunciado

Uma bolinha está sobre um aro circular de raio R que roda em torno do diâmetro com velocidade ω . Não há atrito.

  • Qual deve ser a velocidade ω que mantém a bolina na mesma posição do aro, um ângulo θ com respeito a vertical?
  • Analise a resposta anterior: Haverá um intervalos de velocidades angulares 0 < ω < ω 0 , para uma ângulo fixo θ = 0 . Descubra o valor de ω 0 .

Adote as constantes citadas no exercício em suas respostas e g como a magnitude da constante da aceleração da gravidade.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

O enunciado não faz o melhor trabalho em deixar claro como funciona este movimento, mas a figura ajuda um pouco, temos o seguinte esquema

Note que o aro gira como uma moeda (Como fazemos quando estamos entediados e com uma moeda na mão!). Ao girar este aro, devido a velocidade angular ω , a bolinha fica estacionária em uma altura indicada pelo ângulo θ . Mas por quê?

Essa é uma posição de equilíbrio em que a força centrípeta que gera o movimento circular da bolinha (NÃO É AO LONGO DO ARO) é dada pela componente horizontal da força normal devido ao contato da bolinha no aro! Vamos usar esta condição de equilíbrio para encontrar a nossa velocidade! Vem comigo!

Passo 2

As forças são tais que

Vendo o seguinte esquema podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar duas equações relevantes. Primeiro, temos a seguinte relação que será útil no futuro

N v e r t i c a l - m g = 0           ( 1 )

e, como podemos identificar a componente horizontal como uma força centrípeta, temos que

N h o r i z o n t a l = m   a c           ( 2 )

Vamos usar essas duas equações para encontrar a nossa velocidade angular relacionada! Saca só!

Passo 3

Primeiro, podemos usar que

a c = v 2 R

em que v é a velocidade tangencial ao círculo que a bolinha faz ao girar em torno do eixo vertical. Essa velocidade é relacionada a velocidade angular ω através de v = ω r , portanto, temos que

N h o r i z o n t a l = m   ( v 2 R ) = m ω 2 r

Note que r é um raio, mas não o raio do aro, vamos encontrar quanto vale este raio daqui a pouquinho! Observando o esquema que temos montado no passo anterior, podemos verificar que

N h o r i z o n t a l = N   s e n ( θ )

Portanto, usando a relação acima, obtemos que

m ω 2 r = N   s e n ( θ )

ou, isolando ω , temos que

ω = N   s e n ( θ ) m r

Mas ainda não sabemos quem é N ! Vamos achar isso primeiro!

Passo 4

Da equa�o ( 1 ) que montamos anteriormente, temos que

N v e r t i c a l = m g

do esquema, no entanto, obtemos que N v e r t i c a l =   N   c o s ( θ ) , o que nos permite escrever

N   c o s ( θ ) = m g

Isolando N , temos que

N = m g c o s ( θ )

de forma que a nossa velocidade angular é tal que

ω = ( m g ) s e n ( θ ) ( c o s ( θ ) ) m r = g   s e n ( θ ) r   c o s ( θ )

Vamos achar rapidamente quem é r ! Bora lá!

Passo 5

Note que r é a projeção de R no plano em que o movimento circular acontece, como no seguinte esquema

portanto, podemos usar que r   =   R   s e n ( θ ) , e sendo assim, finalmente, a nossa velocidade angular é

ω = g   s e n ( θ ) ( R   s e n ( θ ) )   c o s ( θ ) = g R   c o s ( θ )

Beleza! A primeira parte da questão foi isso! Vamos para a próxima!

Passo 6

Se o ângulo agora é fixo θ = 0 , temos que a velocidade angular toma a forma

ω = g R

mas note que nestas condições não existe realmente uma velocidade angular da bolinha. Pensa comigo, a bolinha é só um ponto no aro, agora com θ = 0 esta bolinha está na base do aro e portanto, nunca saí do lugar, nunca terá uma velocidade angular. O problema da relação acima pode ser mostrado se considerar que r = R   s e n ( 0 ) = 0 . Ou seja, a equação acima não tem validade, já que durante algumas passagens, nós dividimos por r . É impossível determinar o intervalo dito nas condições apresentadas.

A questão foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

ω = g R   c o s ( θ )

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