Exercícios Resolvidos de Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

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Enunciado

As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular dada por ω z ( t )   =   γ   -   β t ²   , onde γ   =   5 ,   0   r a d / s   e β   =   0 ,   800   r a d / s ³ . a) Calcule a aceleração angular em função do tempo. b) Calcule a aceleração angular instantânea α , para t   =   3,0   s e a aceleração angular média, α m , para o intervalo de t   =   0   até t   =   3 ,   0 s . Como essas duas grandezas podem ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são diferentes?

Passo 1

E aii, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio… 

Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora?? 

Então bora!!

Gente, o enunciado nos fornece uma função que indica a velocidade angular das lâminas de um ventilador:

ω z ( t )   =   γ   -   β t ²

Sabendo disso, para o item a) devemos calcular a aceleração angular em função do tempo. E como poderíamos fazer isso?

Bom, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Logo, como temos a função que indica a velocidade angular, basta derivarmos a equação.

α z = d ω d t

α z = d d t ( 5 - 0,8 t 2 )

α z =   - 2 ⋅ 0,8   t

α z =   - 1,6 t

Então podemos afirmar que a aceleração em função do tempo é dada por α z ( t ) =   - 1,6 t .

Passo 2

E no item b) devemos encontrar a aceleração angular instantânea para t = 3,0   s . Além disso, devemos encontrar também a aceleração média para o intervalo de t = 0 até t = 3,0   s . Pessoal, a velocidade instantânea é aquela velocidade exata medida naquele instante de tempo. E como no passo anterior já descobrimos a expressão que determina a aceleração, basta substituirmos t por t = 3 s .

α z ( t ) = - 1,6 t

Para t = 3 s :

α z 3 = - 1,6 ⋅ 3

α z 3 =   - 4,80   r a d / s ²

Belezuraaa! Agora só falta encontrar a aceleração média. A aceleração média é dada pela variação da aceleração em determinado instante de tempo pelo tempo decorrido.

α m é d i o = ω z t - ω z ( t 0 ) Δ t

Como o problema quer saber para o intervalo de t = 0   s até t = 3,0   s . Temos que:

α m é d i o = ω z 3 - ω z ( 0 ) 3

α m é d i o = - 2,2 - 5 3

α m é d i o =   - 2,40   r a d / s ²

Passo 3

Agora temos que comparar e analisar os resultados obtidos! Observamos que a aceleração média vai ser a metade da aceleração instantânea nos três segundos decorridos. Isso porque a aceleração média como o nome já diz é uma média das acelerações em todo o tempo decorrido, o que não necessariamente indica que o valor deve bater exatamente, mas sim que podemos nos basear nesse valor para entendermos outras variáveis que estão presentes nessa situação. Podemos concluir também que a aceleração aumenta linearmente com o tempo.

Bons estudos e até mais! 🙂

Resposta

a)

α z t =   -   1,6 t

b)

α z 3 =   -   4,8   r a d / s ²

α m é d i o =   - 2,40   r a d / s ²

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