Exercícios Resolvidos de Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

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Enunciado

A velocidade angular de um volante obedece à equação ω z ( t )   =   A   +   B t ²   , onde t está em segundos e A e B são constantes, com valores numéricos de 2,75   ( p a r a   A )   e 1,50   ( p a r a   B ) .

a) Quais são as unidades de A e de B , se ω   está em r a d / s ? b) Calcule a aceleração angular do volante para i )   t   =   0,0   e   i i )   t   =   5 ,   0   s . c) Qual é o ângulo em que o volante gira durante os primeiros 2.0   s ?

Passo 1

Olá pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar?

Bom a questão fala sobre um volante que possui velocidade angular determinada pela equação ω z ( t )   =   A   +   B t ² , sendo A e B constantes numéricas. Sendo assim, para conseguir solucionar o item a) temos que encontrar as unidades de A e de B . Tendo em mente que a velocidade angular ω   está em radianos por segundo.

E como podemos descobrir isso?

Vamos analisar a função da velocidade angular:

ω z = A + B t ²

Agora vamos reescrever essa função só que para as unidades correspondentes. Da seguinte forma:

r a d s = r a d s + B s ²

Daqui já é possível prevê que A deve ter como unidade também radianos por segundo, e o B ?

? ⋅ s ²   = r a d s  

Bom, sabemos que o B quando multiplicado por s ² resulta em r a d s . Portanto, podemos afirmar que B é :

r a d s ³ ⋅ s 2 = r a d s

Belezinha??

Logo, cada termo da nossa função terá as seguintes unidades:

ω z = A + B t ²

r a d s = r a d s + r a d s ³ s ²

Conclui-se que a unidade de A é r a d / s e de B é r a d / s ³ .

Passo 2

Já no item b) temos que calcular as acelerações angulares do volante para t   =   0,0   s e para t   =   5,0   s . E agora? Vai dar pra fazer??

Calmaaaa galera, temos que lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, vamos ter que derivar a expressão da velocidade pelo tempo. Bora lá!

α z = d ω d t

α z = d d t ( 2,75 + 1,5 t 2 )

α z = 3 t

Logo, a aceleração em função do tempo é dada por α z ( t ) = 3 t .

Dessa maneira, em t   =   0,0 a aceleração será:

α z 0 = 3 ⋅ 0

α z 0 = 0   r a d / s ²

E em t   =   5 s , a aceleração será:

α z 5 = 3 ⋅ 5

α z 5 = 15   r a d / s ²

Passo 3

E por fim, para fechar com chave de ouro precisamos encontrar o ângulo em que o volante faz nos primeiros 2   s . E aí bebês, como resolver esse pepino?

Da mesma forma que determinamos a aceleração a partir da equação da velocidade angular, vamos ter que encontrar a expressão que indique a posição angular em relação ao tempo. Podemos encontrar essa expressão integrando a função da velocidade em função do tempo.

Assim,

θ =   ∫ t 1 t 2 ω d t

θ =   ∫ t 1 t 2 ( 2,75 + 1,5 t 2 ) d t

E como desejamos saber a posição angular durante os dois primeiros segundos, t 1 = 0   s e t 2 = 2   s .

θ = 2,75   t + 1,5 t 3 3 | 0 2

θ = 2,75   ( 2 ) + 1,5 ( 2 ) 3 3 - 2,75   ( 0 ) + 1,5 ( 0 ) 3 3

θ = 9,5   r a d

Tudo ok? Pois bora resolver mais questões!!!

Bons Estudos, pimpolhos!

Resposta

a) A unidade de A é r a d / s e de B é r a d / s ³ .

b) α z 0 = 0   r a d / s ² e α z 5 = 15   r a d / s ² .

c) θ = 9,5   r a d

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