Exercícios Resolvidos de Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

USP, Física 1, P1 - 2018, Questão 1

Uma partícula executa o movimento espiral mostrado na figura com d θ ( t ) / d t = ω e r t = r 0 e α t onde r 0 , α e ω são constantes positivas. Marque a opção correta abaixo que descreve o movimento quando ω = α :

(a) Aceleração radial e a velocidade radial decrescem exponencialmente.

(b) Aceleração radial é nula enquanto a velocidade radial é nula.

(c) Aceleração radial cresce exponencialmente enquanto a velocidade radial decresce linearmente no tempo.

(d) Aceleração radial e a velocidade radial crescem exponencialmente.

(e) Aceleração radial é nula enquanto a velocidade radial cresce exponencialmente.

Passo 1

Bom, temos uma partícula realizando um movimento em espiral.

Hum, essa questão não está cheirando bem...

Calma, hahah. Não precisa ficar tão desconfiado.

Mas como a gente descreve esse movimento espiralar?

Se pensarmos num vetor unitário radial r ^ que gire junto com a partícula, apontando em sua direção:

Podemos descrever esse movimento como um vetor r (vetor posição), em que o módulo já foi dado pelo enunciado r t e a direção desse vetor será em r ^ :

r = r 0 e α t   r ^

A questão toda se baseia em achar a velocidade e a aceleração radial desse movimento.

Se temos o vetor posição r , podemos derivar esse cara e achar o vetor velocidade v :

v = d r d t

E se temos o vetor velocidade v , podemos derivar esse cara e achar o vetor aceleração a :

a = d v d t

Massssss, temos que tomar muito cuidado na hora de derivar esse vetor, pois não podemos simplesmente derivar o módulo de r .

A grande diferença desse vetor unitário r ^ (direção de do vetor r ) para os vetores unitários i ^ (direção do eixo x ) e j ^ (direção do eixo y ), é que dentro do referencial de eixos x y , esse vetor r ^ vai variar no tempo, já que ele está constantemente mudando de direção:

r = r 0 e α t   r ^ t

E se r ^ t não é uma constante e sim um termo que varia no tempo, agora existe um produto de dois termos que variam no tempo, o primeiro e α t e o segundo ( r ^ t ). Logo existe uma regra do produto nessa derivada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembrando a regra do produto para uma derivada...

Se temos dois termos que variam e estamos derivando o produto desses termos, temos:

a . b ' = a ' b + a b '

Ou seja, derivamos o primeiro e mantemos o segundo e depois mantemos o primeiro e derivamos o segundo.

Passo 3

Então, aplicando a regra do produto naquela derivada, temos:

v = d r d t

v = r 0 e α t '   r ^ t + r 0 e α t r ^ t '

Lembrando que r 0 é um termo constante, portanto não entra na regra do produto.

Agora, vamos fazer derivar separadamente esse termo r ^ t para não complicar muito essa linha de desenvolvimento.

Passo 4

Segura na minha mão e vem comigo.

Para derivar esse vetor unitário r ^ t , vamos escrevê-lo em coordenadas cartesianas.

Sua componente em x será um termo dado pelo cosseno, em y será um termo dado pelo seno e sua velocidade angular dada no enunciado é ω :

Esse vetor pode ser escrito como:

r ^ t = cos ω t i ^ + s e n ω t j ^

Essa é a direção radial.

Vamos aproveitar e definir também um vetor perpendicular, que chamaremos de θ ^ t .

Essa será a direção tangencial ao movimento da partícula:

Sua expressão em coordenadas cartesianas é:

θ ^ t = - s e n ω t i ^ + cos ω t j ^

Passo 5

Agora, vamos derivar esses dois caras, pois vamos precisar disso no nosso desenvolvimento.

Começando com r ^ t :

d r ^ t d t = cos ω t i ^ + s e n ω t j ^ '

Tanto o termo “ cos ω t ” quanto o termo “ s e n ω t ” vão precisar da regra da cadeia para a expressão " ω t " de dentro da função s e n e c o s :

d r ^ t d t = - s e n ω t ω   i ^ + cos ω t ω   j ^

Colocando em evidência o ω , temos que aparece exatamente o vetor unitário θ ^ :

d r ^ t d t = ω - s e n ω t i ^ + cos ω t j ^

d r ^ t d t = ω θ ^ t

Agora vamos derivar o θ ^ t :

d θ ^ t d t = - s e n ω t i ^ + cos ω t j ^ '

d θ ^ t d t = - cos ω t ω i ^ - s e n ω t ω j ^

Se, novamente, colocarmos em evidência o termo - ω , podemos ver que aparece exatamente o vetor unitário r ^ t :

d θ ^ t d t = - ω cos ω t i ^ + s e n ω t j ^

d θ ^ t d t = - ω r ^ t

Então, vemos que esses vetores unitários se relacionam quando são derivados, o que vai ser útil na hora de desenvolver o nosso problema.

d r ^ t d t = ω θ ^ t d θ ^ t d t = - ω r ^ t

Passo 6

Agora, depois desse rolê todo, vamos finalmente voltar para a nossa questão.

Vamos derivar o vetor posição r , achando o vetor velocidade v :

v = r 0 e α t '   r ^ t + r 0 e α t r ^ t '

Derivando o termo e α t , temos que a derivada de uma exponencial se matém a mesma, porém temos uma regra da cadeia:

e α t ' = e α t α

E derivando o termo r ^ t ' , acabamos de ver no Passo 5 que achamos:

  r ^ t ' = ω θ ^ t

Substituindo esses termos, ficamos com:

v = r 0 e α t α r ^ t + r 0 e α t ω θ ^ t

v = r 0 α e α t r ^ t + r 0 e α t ω θ ^ t

Esse é o vetor velocidade, e podemos ver que o termo na direção de r ^ t é a velocidade radial enquanto o termo na direção de θ ^ t é a velocidade tangencial.

Ou seja, a velocidade radial da partícula é dada por:

v r a d i a l = r 0 α e α t r ^ t

Portanto, já descobrimos que essa velocidade cresce exponencialmente.

Mas queremos o vetor aceleração também, então devemos derivar novamente.

Passo 7

Derivando o vetor v , vamos aplicar agora duas vezes a regra do produto.

a = d v d t

a = r 0 α e α t r ^ t + r 0 e α t ω θ ^ t '

Para o primeiro termo da soma, a regra do produto fica:

r 0 α e α t r ^ t ' = r 0 α e α t ' r ^ t + e α t r ^ t '

Lembrando que os termos α e r 0 são constantes e por isso não entram na regra do produto. Continuando, vamos usar novamente a derivada de r ^ t que já calculamos:

r 0 α e α t r ^ t ' = r 0 α e α t α r ^ t + e α t ω θ ^ t

Aplicando a distributiva, temos:

r 0 α e α t r ^ t ' = r 0 α 2 e α t r ^ t + r 0 α ω e α t θ ^ t

Beleza!

Agora, vamos aplicar a regra do produto para o segundo termo, usando as mesmas estratégias:

r 0 e α t ω θ ^ t ' = r 0 ω e α t ' θ ^ t + e α t θ ^ t '

r 0 e α t ω θ ^ t ' = r 0 ω e α t α θ ^ t + e α t - ω r ^ t

Fazendo a distributiva, temos:

r 0 e α t ω θ ^ t ' = r 0 α ω e α t θ ^ t - r 0 ω 2 e α t r ^ t

Substituindo os dois termos na expressão de a :

a = r 0 α e α t r ^ t + r 0 e α t ω θ ^ t '

a = r 0 α 2 e α t r ^ t + r 0 α ω e α t θ ^ t + r 0 α ω e α t θ ^ t - r 0 ω 2 e α t r ^ t

Tá no final, eu prometo!

Passo 8

Eu sei que a expressão da aceleração está meio bizonha...

Mas como queremos tirar alguma conclusão sobre a aceleração radial r ^ t , vamos agrupar todos os termos em cada uma das direções.

A expressão era essa.

a = r 0 α 2 e α t r ^ t + r 0 α ω e α t θ ^ t + r 0 α ω e α t θ ^ t - r 0 ω 2 e α t r ^ t

Tanto o primeiro termo quanto o quarto termo estão em r ^ t , então:

a = r 0 α 2 e α t - r 0 ω 2 e α t   r ^ t + r 0 α ω e α t + r 0 α ω e α t   θ ^ t

Podemos ainda colocar “ r 0 e α t ” em evidência e somar os termos da nova segunda parte:

a = r 0 e α t α 2 - ω 2   r ^ t + 2 α ω   θ ^ t

Ufaaaaa, chegamos em alguma expressão minimamente mais tranquila...

Passo 9

Agora, o que podemos concluir sobre esse vetor aceleração?

a = r 0 e α t α 2 - ω 2   r ^ t + 2 α ω   θ ^ t

O termo multiplicando r ^ t é a aceleração na direção radial, enquanto o termo θ ^ t é a aceleração na direção tangencial:

Como o enunciado nos deu que:

α = ω

Temos que:

a = r 0 e α t α 2 - α 2   r ^ t + 2 α 2   θ ^ t

a = r 0 e α t 0   r ^ t + 2 α 2   θ ^ t

a = 2 r 0 e α t α 2   θ ^ t

Ou seja, o termo de aceleração radial r ^ t zera para essa condição, enquanto o termo de aceleração tangencial é apresenta um valor positivo e exponencial crescente.

Logo, ficamos com a letra (e).

Foi sofrida, mas sobrevivemos ahaha.

Resposta

Letra (e)

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