Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

(Cap 14.4 – Ex 41) Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por S = 72,09 w 0,425 h 0,725 , onde w é o peso (em quilogramas), h é a altura (em centímetros) S é medida em centímetros quadrados. Se os erros nas medidas de w e h forem no máximo de 2 % , use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada.

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

Temos a função

S = 72,09 w 0,425 h 0,725

E queremos achar a porcentagem de erro máxima de S , para um dado erro máximo de w e h . Quando a gente quiser calcular esse tipo de coisa, vamos usar diferenciais. Mas essa dica o enunciado já deu ne!

O que ele não disse é que o erro máximo de S vai ser o diferencial de S , quando a gente igualar os diferenciais de w e h ao erro que o enunciado deu. Em outras palavras, vamos fazer d w = d h = 2 % e calcular d S .

E a porcentagem de erro máxima é d S S

Passo 2

Mas primeiro, para achar o diferencial de S , precisamos das derivadas parciais com relação a w e h

S w = 72,09 ⋅ 0,425 w - 0,575 h 0,725

= 30,64 w - 0,575 h 0,725

S h = 72,09 ⋅ 0,725 w 0,425 h - 0,275

= 52,26 w 0,425 h - 0,275

Então o diferencial é

d S = 30,64 w - 0,575 h 0,725 d w + 52,26 w 0,425 h - 0,275 d h

Passo 3

Se o erro é de 2 % , d w = 0,02 w e d h = 0,02 h

d S = 30,64 w - 0,575 h 0,725 0,02 w + 52,26 w 0,425 h - 0,275 0,02 h

d S = 0,61 w 0,425 h 0,725 + 1,04 w 0,425 h 0,725 = 1,65 w 0,425 h 0,725

Mas calma! Não acabou! A gente não quer o erro máximo, a gente que a porcentagem de erro máxima!

Para saber a porcentagem da variação fazemos d S / S

d S S = 1,65 w 0,425 h 0,725 72,09 w 0,425 h 0,725

= 1,65 72,09

d S S = 0,023

= 0.023 ⋅ 100 = 2,3 %

Resposta

Portanto, o erro percentual máximo está na área de 2,3 %   da supercície calculada.

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