Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Dada

f x , y = e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ x

  1. Determine o plano tangente ao gráfico de f pela origem.
  2. Determine se a aproximação do plano tangente é uma boa aproximação na proximidade de ( 0,0 )

Passo 1

a )

Vamos seguir o passo a passo!

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
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Passo 2

Substituindo f ( x , y ) por z na expressão da função e jogando tudo para o lado esquerdo da equação, temos:

z = e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ x

z - e x cos ⁡ y - e y sen ⁡ x = 0

Passo 3

Vamos encontrar logo qual é a coordenada z do ponto dado no enunciado? É só a gente substituir ( 0,0 ) na expressão aqui de cima:

z - e x cos ⁡ y - e y sen ⁡ x = 0

No ponto P = ( 0 , 0 ) ...

z - e 0 cos ⁡ 0 - e 0 sen ⁡ 0 = 0

z - 1 - 0 = 0

z = 1

Passo 4

Ok, agora temos que

F x , y , z = z - e x cos ⁡ y - e y sen ⁡ x

Passo 5

Estamos prontos para calcular o vetor gradiente!

∇ F x , y , z = F x , F y , F z

F x x , y , z = - e x cos ⁡ y - e y cos ⁡ x

F y x , y , z = e x sen ⁡ y - e y sen ⁡ x

F z x , y , z = 1

Assim, nosso vetor gradiente, na origem, fica:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = - e x cos ⁡ y - e y cos ⁡ x , e x sen ⁡ y - e y sen ⁡ x , 1

∇ F 0,0 , 0 = - 2 , 0 , 1

Passo 6

Agora que temos o gradiente, temos o vetor normal ao plano tangente! Portanto, basta jogarmos na equação do plano e ele aparecerá!

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Colocando P = ( 0 , 0 , 1 ) e n → = ∇ F 0,0 , 0 = - 2 , 0 , 1 teremos nosso plano:

x , y , z - 1 ⋅ - 20,1 = 0

- 2 x + z - 1 = 0

z = 1 + 2 x

Passo 7

b )

Como as derivadas parciais f x e f y existem e são contínuas na origem, uma vez que são compostas de funções contínuas em todo o R 2 , então a função f é diferenciável em todo o R ² , inclusive na origem. Dessa forma, a aproximação é boa nas proximidades desse ponto.

Resposta

  1. z = 1 + 2 x
  2. Como as derivadas parciais f x e f y existem e são contínuas na origem, uma vez que são compostas de funções contínuas em todo o R 2 , então a função f é diferenciável em todo o R ² , inclusive na origem. Dessa forma, a aproximação é boa nas proximidades desse ponto.

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