Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Encontre uma aproximação linear para:

b )   0,99 3 + 2,01 3 - 6 ( 0,99 ) ( 2,01 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos encontrar a aproximação linear local de uma função, mas não sabemos qual é essa função!

o problema nos disse para calcular esse valor aqui

0,99 3 + 2,01 3 - 6 0,99 2,01

Então uma função que calcularia seria essa aqui:

f x , y = x 3 + y 3 - 6 x y

No ponto

f ( 0,99 ; 2,01 )

A aproximação linear local serve para encontrarmos o valor de alguma determinada função em um ponto perto (ponto geralmente quebrado, com a parte decimal pequena) de um ponto mais ‘comportado’, que no nosso caso seria ( 1,2 )

Como relembrar é viver, a aproximação linear de uma função f ( x , y ) em um ponto comportado ( a , b ) é:

f x , y ≈ f a , b + f x a , b x - a + f y ( a , b ) ( x - b )

Então precisamos encontrar algumas coisas

  • A função aplicada no ponto comportado
  • As derivadas parciais também aplicadas no ponto comportado
  • Depois substituir esses valores na expressão para aproximação
  • E por fim, podemos calcular a função no ponto x , y = ( 0,99 ; 2,01 )

Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando a função no ponto comportado ( 1 , 2 ) :

f x , y = x 3 + y 3 - 6 x y

Aí aplicando temos

f 1 , 2 = 1 3 + 2 3 - 6 . 1.2 = - 3

Tranquilo?

Agora vamos para as parciais!

Passo 3

Nossa função é:

f x , y = x 3 + y 3 - 6 x y

Agora vamos calcular as derivadas parciais! Começando pela f x :

f x = 3 x 2 - 6 y

E agora vamos aplicar em ( 1 , 2 ) :

f x 1 , 2 = 3.1 2 - 6.2 = - 9

Belezinha? Vamos para a parcial em y !

f y = 3 y 2 - 6 x

E agora vamos aplicar em ( 1 , 2 ) :

f y 1 , 2 = 3.2 2 - 6.1 = 6

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora vamos jogar todos esses resultados na expressão para aproximação linear! Lá do passo 1:

f x , y ≈ f a , b + f x a , b x - a + f y ( a , b ) ( x - b )

E dos passos 2 e 3:

f 1 , 2 = - 3

f x 1 , 2 = - 9

f y 1 , 2 = 6

E queremos saber quanto vale a função em x , y = ( 0,99 ; 2,01 ) , então o ponto comportado é o nosso ( 1 , 2 ) . Agora é só substituir:

f 0,99 ; 2,01 ≈ f 1 , 2 + f x 1 , 2 0,99 - 1 + f y ( 1 , 2 ) ( 2,01 - 2 )

f 0,99 ; 2,01 ≈ - 3 + 0,09 + 0 , 06 = - 2,85

E é isso! A função nesse ponto vale - 2,85 !

Resposta

- 2,85

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