Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

PUCRIO - (Cálculo 2 - MAT1162) - G1 (Versão C) 2020.1

Considere a função f x , y = 3 x 2 - x y + y 2

  1. Calcule f x 1,1 e f y 1,1 e explique as suas interpretações geométricas
  2. Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y no ponto 1,1 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre
  3. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 1,1 , 3
  4. Encontre a linearização de f x , y em 1,1 , use-a para calcular aproximadamente f 0.98 ,   1.02 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Passo 1

Pra começar, vamos definir uma coisa importante. A questão pede f x 1,1 e f y 1,1 . O subscrito significa que é a primeira derivada em relação a x e y , respectivamente. Portanto, derivamos:

f x , y = 3 x 2 - x y + y 2

∂   f x , y ∂ x   ;   ∂   f x , y ∂ y

Em relação a x primeiro, temos:

∂   f x , y ∂ x = 3 ∙ ∂   1 x 2 - x y + y 2 1 2 ∂ x

∂   f x , y ∂ x = 3 ∙ ∂   x 2 - x y + y 2 - 1 2 ∂ x

Usando a famosérrima regra da cadeia, temos:

∂   f x , y ∂ x = 3 ∙ - 1 2 ∙ x 2 - x y + y 2 - 1 2 - 1 ∙ ∂   x 2 - x y + y 2 ∂ x

∂   f x , y ∂ x = - 3 2 ∙ x 2 - x y + y 2 - 3 2 ∙ ∂   x 2 - x y + y 2 ∂ x

∂   f x , y ∂ x = - 3 2 ∙ x 2 - x y + y 2 3 2 ∙ ∂   x 2 - x y + y 2 ∂ x

∂   f x , y ∂ x = - 3 2 ∙ x 2 - x y + y 2 3 ∙ ∂   x 2 - x y + y 2 ∂ x

Veja que até o momento, não derivamos nada em relação a x meeesmo, o que nos leva a um pulo do gato enorme, que é a derivada em relação a y , que vai ter a mesma cara já que até então tem os mesmos passos:

∂   f x , y ∂ y = - 3 2 ∙ x 2 - x y + y 2 3 ∙ ∂   x 2 - x y + y 2 ∂ y

Derivando os dois, temos:

∂   f x , y ∂ x = - 3 2 ∙ x 2 - x y + y 2 3 ∙ 2 x - y

∂   f x , y ∂ y = - 3 2 ∙ x 2 - x y + y 2 3 ∙ 2 y - x

Calculando f x 1,1 e f y 1,1 , basta trocarmos x , y por 1 nas duas definições acima:

f x 1,1 = - 3 2 ∙ 1 2 - 1 ∙ 1 + 1 2 3 ∙ 2 - 1

f y 1,1 = - 3 2 ∙ 1 2 - 1 ∙ 1 + 1 2 3 ∙ 2 - 1

O que resulta em:

f x 1,1 = - 3 2

f y 1,1 = - 3 2

Qual a implicação geométrica disso? Bem galera, tradicionalmente, quando derivamos, achamos a inclinação de uma tangente! Aqui não será diferente! Teremos então que a curva de interseção de f x , y com o plano y = 1 e com o plano x = 1 , apesar de serem diferentes, terão uma reta tangente com a mesma inclinação em 1,1 , f 1,1 e de inclinação - 3 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A letra b vai pedir pra gente aplicar uma definição importantíssima: a de variação máxima. Galera, ela nada mais é do que o vetor gradiente:

∇ f x , y = f x x , y , f y x , y

No ponto 1,1 , como o enunciado pede, não tem mistério, vamos ter:

∇ f 1,1 = f x 1,1 , f y 1,1

∇ f 1,1 = - 3 2 , - 3 2

Ok então. Sabemos a direção na qual a variação máxima acontece, mas e a taxa de variação máxima? Pra achar a taxa, fazemos o módulo desse vetor aí de cima:

∇ f 1,1 = - 3 2 2 + - 3 2 2 = 2 ∙ 9 4 = 3 2 2

Passo 3

Aqui também vai ser tranquilin, afinal equação de plano tangente tem uma fórmula geral bem bonita que ajuda a gente:

z - z 0 = f x x o , y 0 x - x 0 + f y x o , y 0 y - y 0

Onde x o , y 0 , z 0 = 1,1 , 3 é o ponto de tangência. Substituímos então e achamos:

z - 3 = f x 1,1 x - 1 + f y 1,1 y - 1

z - 3 = - 3 2 x - 1 + - 3 2 y - 1

z - 3 = - 3 2 x - 1 + y - 1

z - 3 = - 3 2 x + y - 2

E olha que bonito que fica no gráfico:

Passo 4

Hora de fechar com chave de ouro e fazer a última letra! Na verdade nem tem muito mistério. Afinal, o plano tangente é a própria linearização para uma superfície em determinado ponto. Como ainda estamos falando do mesmo ponto, podemos isolar z na equação do plano tangente e obter:

z - 3 = - 3 2 x + y - 2

z = - 3 2 x + y - 2 + 3

L x , y = - 3 2 x + y - 2 + 3

Vamos ter que f x , y ≅ L x , y quanto x , y está perto de 1,1 . E taí! A questão não pediu no ponto 0.98 ,   1.02 ? Tudo o que precisamos fazer é calcular L 0.98 ,   1.02 :

f 0.98 ,   1.02 ≅ - 3 2 0.98 + 1.02 - 2 + 3

f 0.98 ,   1.02 ≅ - 3 2 2 - 2 + 3

f 0.98 ,   1.02 ≅ 3

Resposta

Letra a)

  • f x 1,1 = - 3 2 f y 1,1 = - 3 2
  • A curva de interseção de f x , y com o plano y = 1 e com o plano x = 1 , apesar de serem diferentes, terão uma reta tangente com a mesma inclinação em 1,1 , f 1,1 e de inclinação - 3 2 .

Letra b)

  • Variação máxima ocorre na direção ∇ f 1,1 = - 3 2 , - 3 2 a uma taxa máxima de   ∇ f 1,1 = 3 2 2
  • Letra c)

  • z - 3 = - 3 2 x + y - 2

Letra d)

  • L x , y = - 3 2 x + y - 2 + 3
  • f 0.98 ,   1.02 ≅ L 0.98 ,   1.02 = 3

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