Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Encontre a equação do plano tangente à superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 14

No ponto ( 1,2 , 3 ) :

  1. Usando a equação na forma z = f ( x , y )
  2. Admitindo que a equação dada define z implicitamente como função de x e y .
  3. Encontre a aproximação linear para z = f ( x , y ) no ponto 0,0 , 14 . A aproximação encontrada é boa?

Passo 1

a )  

Para usarmos a equação na forma z = f ( x , y ) temos que isolar a variável z , escrevendo-a como uma função de x e y . Assim

z 2 = - x 2 - y 2 + 14

z = ± 14 - x 2 - y 2

Isso quer dizer que a nossa superfície é, na verdade, a união de duas superfícies:

z = + 14 - x 2 - y 2

E

z = - 14 - x 2 - y 2

Que são a sua parte de cima e de baixo, respectivamente.

Então, podemos escrever

z = f x , y = 14 - x 2 - y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular o plano tangente a essa superfície, precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e a y . Vamos calculá-las então:

f x = 1 2 14 - x 2 - y 2 - 1 2 . ( - 2 x )

f x = - x 14 - x 2 - y 2

E

f y = 1 2 14 - x 2 - y 2 - 1 2 . ( - 2 y )

f y = - y 14 - x 2 - y 2

Passo 3

Substituindo no ponto ( 1,2 , 3 ) , temos:

f x = - 1 14 - 1 2 - 2 2 = - 1 3

f y = - 2 14 - 1 2 - 2 2 = - 2 3

Além disso,

f 1,2 = 14 - 1 2 - 2 2 = 3

Passo 4

Agora é só substituir tudo na equação do plano tangente:

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

z = 3 - 1 3 x - 1 - 2 3 y - 2

z = - x 3 - 2 y 3 + 14 3

Passo 5

b )

Independente de como a gente considere z , para achar o plano tangente, temos que encontrar as derivadas parciais de z . Assim, se z está definido implicitamente como função de x e y na equação

x 2 + y 2 + z 2 = 14

Para achar suas derivadas parciais devemos derivar a equação acima implicitamente em relação a x e em relação a y .

Vamos começar por x .

Passo 6

Considerando z como uma função de x e y , derivando implicitamente ambos os lados da equação com relação a x , temos

2 x + 2 z ∂ z ∂ x = 0

∂ z ∂ x = - x z

Fazendo o mesmo, mas agora em relação a y , temos:

2 y + 2 z ∂ z ∂ y = 0

∂ z ∂ y = - y z

Passo 7

De novo, agora é só substituir tudo na equação do plano tangente:

z = z 0 + z x x - x 0 + z y y - y 0

z = 3 - 1 3 x - 1 - 2 3 y - 2

z = - x 3 - 2 y 3 + 14 3

Que é a mesma equação que encontramos na letra a , como deveria ser, já que estamos falando da mesma superfície.

Passo 8

c )

Sabendo que uma aproximação linear de f é dada por:

f x , y ≈ L x , y = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Para encontrar o valor aproximado de f ( x , y ) no ponto 0,0 , 14 , basta substituir esses valores na expressão acima.

Assim:

L 0 , 0 = f 0 , 0 + f x 0,0 . x - 0 + f y 0,0 . y - 0

L 0,0 = 14 + 0 . x - 0 + 0 . y - 0

L 0,0 = 14 = f 0 , 0

Como f x e f y são contínuas em ( 0,0 ) , temos que f é diferenciável nesse ponto. Assim, a aproximação linear é uma boa aproximação para f .

Resposta

  1. z = - x 3 - 2 y 3 + 14 3
  2. z = - x 3 - 2 y 3 + 14 3
  3. f 0 , 0 = 14

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas