Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja f   ( x ,   y )   =   x e y   +   s e n ( 2 x y ) uma função de duas variáveis.

c) Encontre a linearização L(x, y) da função f (x, y) no ponto (1, 0).

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos dá uma superfície definida pela função de duas variáveis f(x,y) e nos pede para encontrar a linearização L(x,y) dessa função no ponto (1,0). Mas o que seria essa linearização? Bem, no caso de uma função f(x) de uma variável, temos que a reta tangente à função em um ponto é a melhor aproximação linear da função f(x).

Para uma função de duas variáveis, temos que a superfície que melhor aproxima a superfície definida por f(x,y) é seu plano tangente! Então, o que a questão quer é que a gente determine um plano da forma

A ( x - x 0 ) + B ( y - y 0 ) + C ( z - z 0 ) = 0

Que seja tangente à superfície f(x,y) no ponto (1,0,1). Então bora ver como a gente faz isso!

Passo 2

Assim como no caso de uma variável, para calcular a aproximação linear, vamos precisar das derivadas parciais da função f(x,y). Mas antes, vamos reescrever a equação do plano de uma maneira mais familiar: escrevendo z em função de x e y:

z ( x , y ) - z 0 = a ( x - x 0 ) + b ( y - y 0 )

Onde apenas redefinimos as constantes a = A/C, b = B/C. Bem, se essa equação representa o plano tangente à superfície no ponto (1, 0, 1), temos que, se fizermos a interseção da superfície f(x,y) com um plano y = 0, a reta tangente à curva de interseção ( f(x, y=0) ) estará contida no plano tangente! Então, a equação

z ( x , y ) = a ( x - 1 ) + b ( y - 0 ) + z 0

z ( x , y =   0 ) = a ( x - 1 ) + 1

Essa é justamente a equação de uma reta tangente com inclinação igual à a, que nesse caso será dado pela derivada de f em relação à x, como no caso de uma variável:

a = ∂ ∂ x f ( x , y ) = ∂ ∂ x ( x e y   +   s e n ( 2 x y ) ) = e y + 2 y   c o s ( 2 x y )

No ponto (x, y) = (1, 0), o valor da inclinação é igual à e ⁰ + 2 × 0 × c o s ( 0 ) = 1 . Então já temos um coeficiente determinado. Agora, seguimos o mesmo raciocínio para determinar b: se fizermos a interseção da superfície f(x,y) com o plano x = 1, a reta tangente à curva da interseção ( f(x=1,y) ) está contida no plano tangente. Então, como x = 1, temos que a equação se resume à

z ( x = 1 , y ) = a ( x - 1 ) + b ( y - 0 ) + z 0   ⇒   z ( x , y )   = a ( 1 - 1 ) + ( b × y ) + z 0 = b × y + 1

Então, novamente, a equação

z ( x = 1 , y ) = b y + 1

É a equação de uma reta, cuja inclinação b é dada pela derivada parcial da função f(x,y), dessa vez em relação à y. Então, calculando a derivada parcial f y , obtemos

∂ ∂ y f ( x , y ) = ∂ ∂ y ( x e y   +   s e n ( 2 x y ) ) = x e y + 2 x   c o s ( 2 x y )

No ponto (1,0), b assume o valor 1 e ⁰ + 2 × 1 × c o s ( 0 ) = 3 . Então, com os valores de a e b determinados, já podemos escrever a equação do plano! Ela é dada por

z ( x , y ) = 1 × ( x - 1 ) + 3 y + 1 = x + 3 y

Resposta

z ( x , y ) = x + 3 y

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