Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função

f x , y = x e x 2 - y 2

  1. Obtenha uma equação para o plano tangente ao gráfico de f no ponto f 1 , 1 , f 1,1
  2. Use uma linearização conveniente de f para obter um valor aproximado de

1,01 e 1,01 2 - 0,98 2

Passo 1

a )

Para calcular o plano tangente no ponto ( 1,1 )

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Temos que achar f x e f y :

f x = e x 2 - y 2 + x . 2 x e x 2 - y ²

f y = - 2 x y e x 2 - y ²

No ponto ( 1,1 ) :

f x = e 1 ² - 1 2 + 2.1 ² . e 1 2 - 1 ² = 1 + 2 = 3

f y = - 2.1 . 1 e 1 2 - 1 2 = - 2

E também f 1,1

f 1,1 = 1 e 1 2 - 1 2 = 1 . e 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, a equação do plano tangente é

z = f 1,1 + f x x - 1 + f y y - 1

z = 1 + 3 x - 1 - 2 y - 1

z = 3 x - 2 y

Passo 3

b )

Para calcular o valor aproximado, basta substituirmos

x = 1,01

y = 0,98

Na expressão do plano tangente, já que

f ( x , y ) ≈ L ( x , y )

Então

f ( x , y ) ≈ 3 x - 2 y

Substituindo

f 1,01 , ; 0,08 ≈ 3 . 1,01 - 2 . 0,98 = 1,07

Resposta

  1. z = 3 x - 2 y
  2. 1,07

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