Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função f x , y = 1 + x ln ⁡ x y - 5 .

a) Calcule f x 2,3 , f y 2,3 e explique as suas interpretações geométricas.

b) Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y no ponto 2,3 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 2,3 , 1 .

d) Encontre a linearização de f x , y em 2,3 , use-a para calcular aproximadamente f 1,98 ,     3,2 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Passo 1

a) Olá! Ele começa pedindo para calcularmos as derivadas parciais de f em ( 2,3 ) . Vamos começar por f x 2 , 3 . Nossa função é

f x , y = 1 + x ln ⁡ x y - 5

Aí vamos derivar ela em relação a x , para isso a gente considera y uma constante e usar as regrinhas de derivação mesmo.

f x = ∂ 1 + x ln ⁡ x y - 5 ∂ x = ∂ 1 ∂ x + ∂ x ln ⁡ x y - 5 ∂ x = 0 + ∂ x ln ⁡ x y - 5 ∂ x

Repara que temos um produto de funções de x , e uma delas é uma função composta. Vamos de regra da cadeia e regra do produto!

f x = ln ⁡ x y - 5 + x ⋅ 1 x y - 5 ⋅ y

f x = ln ⁡ x y - 5 + x y x y - 5

Agora é substituir o ponto 2,3 :

f x 2,3 = ln ⁡ 6 - 5 + 6 6 - 5 = ln ⁡ 1 + 6 = 6

E a interpretação geométrica é que se tivermos uma reta tangente a nossa função no ponto 2,3 e na direção do vetor 1,0 (paralelo ao eixo x ), essa reta vai ter inclinação f x 2,3 = 6 .

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Passo 2

Bora calcular f y 2,3 . Lembrando da nossa função

f x , y = 1 + x ln ⁡ x y - 5

Aí vamos derivar ela em relação a y , para isso, agora, a gente considera x uma constante e usar as regrinhas de derivação mesmo.

f y = ∂ 1 + x ln ⁡ x y - 5 ∂ y = ∂ 1 ∂ y + ∂ x ln ⁡ x y - 5 ∂ y = 0 + ∂ x ln ⁡ x y - 5 ∂ y

Vamos tirar a constante de dentro da derivada:

f y = x ∂ ln ⁡ x y - 5 ∂ y

Repara que temos uma função composta de y . Vamos de regra da cadeia.

f y = x ⋅ 1 x y - 5 ⋅ x = x 2 x y - 5

Agora é substituir o ponto 2,3 :

f y 2,3 = 4 6 - 5 = 4

E a interpretação geométrica é que se tivermos uma reta tangente a nossa função no ponto 2,3 e na direção do vetor 0,1 (paralelo ao eixo y ), essa reta vai ter inclinação f y 2,3 = 4 .

Passo 3

b) Cara, guarda isso no seu coração:

A direção e o sentido de maior crescimento da função é a direção e sentido do vetor gradiente da função no ponto dado. Vamos montar ele. Ele tem essa carinha:

∇ f = f x , f y

No ponto 2,3 dado

∇ f 2,3 = f x 2,3 , f y 2,3

Já temos essas coisas da letra (a), então é só substituir

∇ f 2,3 = 6,4

Então a direção e sentido da taxa máxima de variação é a direção e sentido de ∇ f 2,3 = 6,4 .

Passo 4

Outra coisa para guardar no coração:

A taxa máxima de crescimento é o módulo do vetor gradiente, que vale:

∇ f 2,3 = 6 2 + 4 2

∇ f 2,3 = 36 + 16

∇ f 2,3 = 52

∇ f 2,3 = 2 13

Passo 5

c) Cara, para ter o plano tangente a uma superfície, a gente precisa do ponto de tangência, no nosso caso P = 2,3 , 1 , e de um vetor normal a superfície nesse ponto n → . Aí como a gente o acha?

Podemos ter ele direto das derivadas parciais da nossa função. Com a fórmulinha

n → = f x , f y , - 1

Substituindo essas derivadas para o nosso ponto 2,3 :

n → = f x 2,3 ,   f y 2,3 , - 1

n → = 6,4 , - 1

Passo 6

Como a gente tem tudo, vamos jogar nossos dados na equação do plano:

n → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

6,4 , - 1 ⋅ x - 2 ,   y - 3 , z - 1 = 0

6 x - 12 + 4 y - 12 - z + 1 = 0 ∴ 6 x + 4 y - z = 23

Passo 7

d) Cara a aproximação linear de uma função em um ponto é dada pela expressão do plano tangente a essa função nesse ponto.

E repara, queremos a aproximação no ponto 2,3 , onde já temos o plano tangente

6 x + 4 y - z = 23 ∴ z = 6 x + 4 y - 23

Aí a aproximação para a nossa função nesse ponto vai ser

f x , y ≈ 6 x + 4 y - 23

Passo 8

Agora a gente usa essa expressão para calcular a aproximação de f 1,98 ,     3,2

f x , y ≈ 6 x + 4 y - 23

f 1,98 ,   3,2 ≈ 6 1,98 + 4 3,2 - 23

f 1,98 ,   3,2 ≈ 1,68

E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto 2,3 para calcular f 1,98 ,   3,2 , porque os pontos 2,3 e 1,98 ,   3,2 estão bem próximos, e f e suas derivadas parciais são contínuas no ponto 2,3 .

Ou seja, porque a função é diferenciável.

Uhul! Arrasamos!

Resposta

a) f x 2,3 = 6 , f y 2,3 = 4

b) Taxa máxima ocorre na direção e sentido de ∇ f 2,3 = 6,4 . E vale 2 13 .

c) 6 x + 4 y - z = 23

d) f 1,98 ,   3,2 ≈ 1,68

E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto 2,3 para calcular f 1,98 ,   3,2 , porque os pontos 2,3 e 1,98 ,   3,2 estão bem próximos, e a função é diferenciável em 2,3 .

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