Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 13

Usando uma aproximação linear, temos que o valor estimado de

ln ⁡ 1,01 2 + 0,1 4

É:

a 0,19

b 0,2

c 0,02

d 0,019

e 0,21

Passo 1

Bom, vamos começar definindo uma função f x , y = ln ⁡ x 2 + y 4 . Na verdade, o problema quer que a gente faça uma aproximação linear de f x , y em algum ponto próximo a x , y = 1.01,0.1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A fórmula para calcular a aproximação linear é dada por:

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Queremos encontrar f 1.01,0.1 . Para isso precisamos das derivadas parciais dessa função e do valor dela em um próximo a x , y = 1.01,0.1 . Vamos escolher então x 0 , y 0 = 1,0 .

Calculando f x 0 , y 0 = f 1,0 = ln ⁡ 1 2 + 0 4 = 0

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais. Vai ficar:

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 4

f x = 1 x 2 + y 4 ∙ 2 x = 2 x x 2 + y 4

No ponto 1,0 temos:

f x = 2

Ainda falta:

f y = 1 x 2 + y 4 ∙ 4 x 3 = 4 y 3 x 2 + y 4

No ponto 1,0 temos:

f y = 0

Passo 4

Basta substituir os valores necessários. Vamos ter:

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

f x , y ≈ 0 + 2 x - 1 + 0 y - 0

Para x , y = 1.01,0.1 , fica:

f 1.01,0.1 ≈ 0 + 2 1.01 - 1

f 1.01,0.1 ≈ 0.02

Resposta

Letra c

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