Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 8

Usando aproximação linear, determine o valor aproximado de 4.05 2 + 2.93 2 .

a 4.958

b 4.998

c 4.918

d 5.002

e 5.042

Passo 1

Bom, vamos começar definindo uma função f x , y = x 2 + y 2 . Na verdade, o problema quer que a gente faça uma aproximação linear de f x , y em algum ponto próximo a x , y = 4.05,2.93 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A fórmula para calcular a aproximação linear é dada por:

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Queremos encontrar f 4.05,2.93 . Para isso precisamos das derivadas parciais dessa função e do valor dela em um próximo a x , y = 4.05,2.93 . Vamos escolher então x 0 , y 0 = 4,3 .

Calculando f x 0 , y 0 = f 4,3 = 16 + 9 = 5

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais. Vai ficar:

f x , y = x 2 + y 2

f x = 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 2 x = x x 2 + y 2

No ponto 4,3 temos:

f x = 4 5

Ainda falta:

f y = 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 2 y = y x 2 + y 2

No ponto 4,3 temos:

f y = 3 5

Passo 4

Basta substituir os valores necessários. Vamos ter:

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

f x , y ≈ 5 + 4 5 x - 4 + 3 5 y - 3

Para x , y = 4.05,2.93 , fica:

f 4.05,2.93 ≈ 5 + 4 5 4.05 - 4 + 3 5 2.93 - 3

f 4.05,2.93 ≈ 4.998

Resposta

Letra b

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