Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.2 , questão 2

Considere a função f x , y = 1 + x l n x y - 5 .

  1. Encontre a linearização da função no ponto 2,3
  2. A linearização encontrada no item anterior é uma boa aproximação para a função no ponto dado 2,3 ?

Passo 1

  1. Vamos começar calculando as derivadas parciais da função. Temos:
  2. f x = l n x y - 5 + x y x y - 5

    f y = x 2 x y - 5

    Passo 2

    Encontrando o valor das derivadas parciais no ponto 2,3 , temos:

    f x = l n   1   + 6 = 6

    f y = 4 6 - 5 = 4

    Passo 3

    Substituindo na equação da linearização de uma função, temos:

    L x , y = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

    L x , y = f 2,3 + 6 x - 2 + 4 y - 3

    Logo, temos:

    L x , y = 1 + 6 x - 12 + 4 y - 12

    L x , y = 6 x + 4 y - 23

    Passo 4

  3. A linearização encontrada será uma boa aproximação linear no ponto 2,3 se a função f for diferenciável nesse ponto.

Para garantir isso, vamos verificar a continuidade das derivadas parciais nesse ponto.

Encontrámos:

f x = l n x y - 5 + x y x y - 5

f y = x 2 x y - 5

Percebemos que ambas são contínuas para x y   ≠   0 e x y - 5 > 0 . Logo, as derivadas parciais são contínuas para todo x y > 5 .

No ponto 2,3 , x y = 6 . Logo, as derivadas parciais são contínuas e a função é diferenciável nesse ponto. Com isso, podemos garantir que a linearização é uma boa aproximação no ponto 2,3 .

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Resposta

  1. L x , y = 6 x + 4 y - 23
  2. É uma boa aproximação.

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