Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

UFF, Cálculo 2B, Professor Sérgio Almaraz, P1 2014.3, questão 3

  1. Determine a equação, na forma z = a x + b y + c , do plano tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 no ponto 3,4 , f 3,4 .
  2. Calcule um valor aproximado para 3,02 2 + 3,97 2

Passo 1

a )

Para calcular o plano tangente no ponto ( 3,4 )

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Temos que achar f x e f y :

f x = 2 x 2 x 2 + y 2

f y = 2 y 2 x 2 + y 2

No ponto ( 3,4 ) :

f x = 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 6 2 25 = 3 5

f y = 2 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 8 2 25 = 4 5

E também f 3,4

f 3,4 = ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 25 = 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, a equação do plano tangente é

z = f 3,4 + f x x - 3 + f y y - 4

z = 5 + 3 5 x - 3 + 4 5 y - 4

z = 3 x 5 + 4 y 5

Passo 3

b )

Para calcular o valor aproximado, basta substituirmos

x = 3,02

y = 3,97

Na expressão do plano tangente, já que

f ( x , y ) ≈ L ( x , y )

Então

f ( x , y ) ≈ 3 x 5 + 4 y 5

Substituindo

f 3,02 , ;   3,97 ≈ 3 3,02 5 + 4 3,97 5 = 9,06 5 + 15,88 5 = 24 , 94 5 = 4,9 88

Resposta

  1. z = 3 x 5 + 4 y 5
  2. f 3,02 , ;   3,97 ≈ 4,9 88

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