Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Jorge B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 348, exercício 35.

Encontre a linearização L x , y da função

f x , y = e x cos ⁡ y

em P 0 = ( 0,0 )

Então encontre um limitante superior para a magnitude | E x , y | do erro na aproximação f ( x , y ) ≈ L ( x , y ) , sabendo que

x ≤ 0,1     e     y ≤ 0,1

(Use e x < 1,11 e cos ⁡ y ≤ 1 para estimar E ( x , y ) ).

Passo 1

Sabemos que

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Então, vamos achar f ( x 0 , y 0 )

f 0,0 = e 0 cos ⁡ 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais:

f x = e x cos ⁡ y

f y = - e x sen ⁡ y

No ponto ( 0,0 ) :

f x = 1

f y = 0

Assim, nossa linearização é

L x , y = 1 + 1 x - 0 + 0 y - 0 = 1 + x

(Bem mais simples que a expressão da fução, né?)

Passo 3

Agora para calcular o erro, vamos usar:

| E x , y | = 1 2 M x - x 0 + y - y 0 2

Onde esse M é qualquer limitante superior para os valores de | f x x | , | f y y | e f x y .

Já sabemos que

x - x 0 = x ≤ 0,1

E

y - y 0 = y ≤ 0,1

Só falta calcular | f x x | , | f y y | e f x y .

Passo 4

Temos

f x x = e x cos ⁡ y

f y y = = - e x cos ⁡ y

f x y = - e x sen ⁡ y

Como

x ≤ 0,1 → - 0,1 ≤ x ≤ 0,1  

E

y ≤ 0,1 → - 0,1 ≤ y ≤ 0,1

Assim,

| f x x | ≤ | e 0,1 cos ⁡ 0,1 | ≤ 1,11.1 ≤ 1.11

f y y = | - e 0,1 cos ⁡ 0,1 | ≤ 1,11

| f x y | = | - e 0,1 sen ⁡ 0,1 | ≤ 0,12

Logo, nosso M será

M = 1,11

Porque é o maior desses valores ali de cima.

Passo 5

O erro então será

E x , y = 1 2 1,11 x - 0 + y - 0 2 = 1 2 1,11 0,1 + 0,1 2 = 0,0222

Resposta

L x , y = 1 + x

E x , y = 0,0222

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