Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.1, questão 3c

Considere a função:

f x , y = 5 x 2 + y 2

c) Encontre uma boa aproximação linear para o valor da função no ponto 1,1 ; 6

Passo 1

A linearização é dada por:

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Ela será uma boa aproximação se a função for diferenciável nas proximidades do ponto fornecido. E para verificar a diferenciabilidade, vamos analisar a continuidade de suas derivadas parciais.

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Passo 2

As derivadas parciais são:

f x = 5 x 5 x 2 + y 2

f y = y 5 x 2 + y 2

Perceba que elas são contínuas nas proximidades do ponto 1,2 , pois são funções compostas por funções contínuas. Logo, a linearização será uma boa aproximação linear no ponto 1,1 ; 6 .

Passo 3

Faremos a aproximação pelas proximidades do ponto x 0 , y 0 = 1,2 . Vamos ter:

f 1,2 = 3

f x = 5 3

f y = 2 3

Substituindo as informações:

z = 3 + 5 3 x - 1 + 2 3 y - 2

Passo 4

Calculando o valor da aproximação no ponto dado 1,1 ; 6 :

z = 3 + 5 3 1,1 - 1 + 2 3 6 - 2 = 3,46

Resposta

z = 3,46

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