Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Seja

f x , y = ln ⁡ 1 - x e 1 - y - x e y

Com

1 - x e 1 - y - x e y > 0

Seja Π o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0 , 1 2 ,   f 0 , 1 2 .

  1. Escreva o vetor N , normal ao gráfico de f no ponto 0 , 1 2 ,   f 0 , 1 2 . Escreva a equação cartesiana de Π .
  2. Determine dois vetores tangentes a Π , sendo v → pertencente ao plano x = 0 e w → pertencente ao plano y = 0 .
  3. Exiba uma parametrização para Π
  4. Usando obrigatoriamente aproximação linear, calcule o valor aproximado de f 0.03 ,   0.52

Passo 1

i )

Um vetor normal ao gráfico de f é o vetor gradiente da superfície que é gráfico de f .

Vamos definir essa superfície substituindo f ( x , y ) por z e jogando tudo pra esquerda e chamando isso de F ( x , y , z ) .

F x , y , z = z - ln ⁡ 1 - x e 1 - y - x e y

Essa equação define a superfície que é gráfico da nossa f .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O vetor gradiente será então:

∇ F = F x ,   F y ,   F z

F x = - 1 1 - x e 1 - y - x e y ∙ - e 1 - y - e y

F y = = - 1 1 - x e 1 - y - x e y ∙ - 1 - x e 1 - y - x e y

F z = 1

Assim

∇ F = e 1 - y + e y 1 - x e 1 - y - x e y ,   1 - x e 1 - y + x e y 1 - x e 1 - y - x e y ,   1

Substituindo no ponto 0 , 1 2 ,   f 0 , 1 2 :

∇ F 0 , 1 2 ,   f 0 , 1 2 = e 1 2 + e 1 2 e 1 2 ,   e 1 2 e 1 2 ,   1

∇ F 0 , 1 2 ,   f 0 , 1 2 = 2 ,   1 ,   1

Assim,

N = 2,1 , 1

Passo 3

Agora, a equação cartesiana do plano tangente Π é dada por

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ∙ ∇ F = 0

Opa, mas antes precisamos saber quem é z 0 , né?

z 0 = f x 0 , y 0 = f 0 , 1 2 = ln ⁡ 1 - 0 e 1 - 1 2 - 0 . e 1 2

z 0 = ln ⁡ ( e 1 2 ) = 1 2  

Pronto, agora voltando, a equação do plano tangente será:

x - 0 , y - 1 2 , z - 1 2 ∙ 2 ,   1 ,   1 = 0

2 x + y - 1 2 + z - 1 2 = 0

z = - 2 x - y + 1

Passo 4

i i )  

Agora precisamos encontrar dois vetores, v → e w → , paralelos ao plano tangente.

Se esses vetores são paralelos ao plano tangente, então significa que eles são perpendiculares ao vetor que é normal (perpendicular) ao plano.

E dois vetores perpendiculares nós já sabemos né: tem o produto escalar igual a zero. Assim

v → ∙ N = 0

w → ∙ N = 0

Além disso, o vetor v → tem que pertencer ao plano x = 0 . E o vetor w → tem que pertencer ao plano y = 0 . Isso significa que a coordenada x do vetor v → tem que ser nula e a coordenada y do vetor w → também. Assim

0 , v y , v z ∙ N = 0

w x , 0 , w z ∙ N = 0

Substituindo o vetor N :

0 , v y , v z ∙ 2,1 , 1 = 0

w x , 0 , w z ∙ 2,1 , 1 = 0

Da primeira equação, temos que

v y + v z = 0 ⇒ v y = - v z

Da segunda equação temos:

2 w x + w z = 0 ⇒ w z = - 2 w x

Assim, nossos vetores podem ser reescritos da seguinte forma:

v → = ( 0 , v y , - v y )

w → = w x , 0 , - 2 w x

Se arbitrarmos v y = 1 e w x = 1 , nossos vetores serão

v → = ( 0,1 , - 1 )

w → = 1,0 , - 2

Passo 5

i i i )

Agora precisamos parametrizar nosso plano tangente Π .

A equação paramétrica do plano é dada por

Π s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.

Felizmente nós já calculamos dois vetores paralelos ao plano tangente.

Assim, vamos substituir com nossos dados então

Π s , t = 0 , 1 2 , 1 2 + ( 0,1 , - 1 ) ∙ s + 1,0 , - 2 ∙ t     ,   s , t ∈ R

Fim de papo!

Passo 6

i v )

Para calcular o valor aproximado de f 0.03 ,   0.52 vamos usar a linearização da nossa função, que é dada simplesmente pela expressão do plano tangente da nossa função, assim:

f ( x , y ) ≈ L x , y = - 2 x - y + 1

Agora, substituindo x = 0.03 e y = 0.52 :

f 0.03 ,   0.52 ≈ L 0.03 ,   0.52 = - 2 ∙ 0.03 - 0.52 + 1

f 0.03 ,   0.52 ≈ 0.42

Resposta

i )

N = 2,1 , 1

z = - 2 x - y + 1

i i )

v → = ( 0,1 , - 1 )

w → = 1,0 , - 2

i i i )  

Π s , t = 0 , 1 2 , 1 2 + ( 0,1 , - 1 ) ∙ s + 1,0 , - 2 ∙ t     ,   s , t ∈ R

i v )

f 0.03 ,   0.52 ≈ 0.42

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