Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Encontre uma aproximação linear para:

a )   0,99 e 0,02 8

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos encontrar a aproximação linear local de uma função, mas não sabemos qual é essa função!

o problema nos disse para calcular esse valor aqui

0,99 e 0,02 8

Então uma função que calcularia seria essa aqui:

f x , y = x e y 8

No ponto

f ( 0,99 ; 0,02 )

A aproximação linear local serve para encontrarmos o valor de alguma determinada função em um ponto perto (ponto geralmente quebrado, com a parte decimal pequena) de um ponto mais ‘comportado’, que no nosso caso seria ( 1,0 )

Como relembrar é viver, a aproximação linear de uma função f ( x , y ) em um ponto comportado ( a , b ) é:

f x , y ≈ f a , b + f x a , b x - a + f y ( a , b ) ( x - b )

Então precisamos encontrar algumas coisas

  • A função aplicada no ponto comportado
  • As derivadas parciais também aplicadas no ponto comportado
  • Depois substituir esses valores na expressão para aproximação
  • E por fim, podemos calcular a função no ponto x , y = ( 0,99 ; 0,02 )

Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando a função no ponto comportado ( 1,0 ) :

f x , y = x e y 8

Aí aplicando temos

f 1,0 = 1 e 0 8 = 1

Tranquilo?

Agora vamos para as parciais!

Passo 3

Nossa função é:

f x , y = x e y 8 = x 8 e 8 y

Agora vamos calcular as derivadas parciais! Começando pela f x :

f x = 8 x 7 e 8 y

E agora vamos aplicar em ( 1,0 ) :

f x 1,0 = 8 . 1 7 e 0 = 8

Belezinha? Vamos para a parcial em y !

f y = 8 x 8 e 8 y

E agora vamos aplicar em ( 1,0 ) :

f y 1,0 = 8 . 1 8 e 0 = 8

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora vamos jogar todos esses resultados na expressão para aproximação linear! Lá do passo 1:

f x , y ≈ f a , b + f x a , b x - a + f y ( a , b ) ( x - b )

E dos passos 2 e 3:

f 1,0 = 1

f x 1,0 = 8

f y 1,0 = 8

E queremos saber quanto vale a função em x , y = ( 0,99 ; 0,02 ) , então o ponto comportado é o nosso ( 1,0 ) . Agora é só substituir:

f 0,99 ; 0,02 ≈ f 1,0 + f x 1,0 0,99 - 1 + f y ( 1,0 ) ( 0,02 - 0 )

f 0,99 ; 0,02 ≈ 1 + 0,08 + 0,16 = 1,08

E é isso! A função nesse ponto vale 1,08 !

Resposta

1,08

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