Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função

f x , y = e - x y cos ⁡ y

  1. A função é diferenciável no ponto ( π , 0 ) ? Justifique
  2. Encontre a linearização de f no ponto ( π , 0 )

Passo 1

a )

Precisamos saber se a função é diferenciável no ponto ( π , 0 ) .

Essa é uma função normal, quer dizer, ela não é definida por partes nem nada, só tem uma definição mesmo.. Então vamos tentar analisar a diferenciabilidade dela tentando calcular as derivadas parciais nesse ponto e vendo se elas são contínuas.

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Passo 2

A derivada parcial em relação a x , pela regra da cadeia, é:

f x = - y e - x y cos ⁡ y

A derivada parcial em relação a y , pela regra da cadeia e do produto, é:

f y = - x e - x y cos ⁡ y - e - x y sen ⁡ y

Beleza, agora para avaliar a continuidade dessas derivadas parciais vamos pensar o seguinte: elas são o produto de uma função trigonométrica com uma função composta entre uma função exponencial e uma função polinomial. Logo, essas derivadas são resultantes de operações elementares com funções clássicas.

E funções clássicas são contínuas em seus domínios.

Agora, para saber se são continuas no ponto ( π , 0 ) basta verificar se esse ponto está no domínio dessas derivadas.

E, de fato, está. Essas derivadas não possuem nenhuma restrição quanto a esse ponto.

Assim, como as derivadas parciais de f existem e são contínuas no ponto ( π , 0 ) , f é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

b )

Agora precisamos encontrar a linearização de f nas proximidades de ( π , 0 ) .

Sabemos que

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

No ponto ( π , 0 ) :

L x , y = f π , 0 + f x x - π + f y y - 0

Só precisamos calcular o valor da função e das derivadas parciais no ponto ( π , 0 ) . Depois é só substituir nessa expressão e pronto, teremos a linearização.

Passo 4

O valor de f no ponto π , 0 é:

f x , y = e - x y cos ⁡ y

f π , 0 = e - π . 0 cos ⁡ 0

f π , 0 = 1

As derivadas parciais no ponto π , 0 são:

f x = - y e - x y cos ⁡ y

f x π , 0 = - 0 . e - π . 0 cos ⁡ 0 = 0

E

f y = - x e - x y cos ⁡ y - e - x y sen ⁡ y

f y π , 0 = - π e - π . 0 cos ⁡ 0 - e - π . 0 sen ⁡ 0 = - π

Passo 5

Substituindo tudo

L x , y = f π , 0 + f x x - π + f y y - 0

L x , y = 1 + 0 . x - π - π y - 0

L x , y = 1 - π y

Resposta

  1. Sim.
  2. L x , y = 1 - π y

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