Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja z t = f x t ,   y t , onde f é diferenciável no plano e x t ,   y t são deriváveis num intervalo ] a ,   b [ .

(b) Derive z ( t ) para os casos:

i   z = tan ⁡ ( x 2 + y ) onde x = 2 t , y = t 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função z em relação a t , ou seja, vamos calcular d z d t .

Pra isso, como a nossa função é uma função composta, que depende de x ( t ) e y ( t ) , vamos precisar usar a Regra da Cadeia na derivação. Então, vamos usar a regra da cadeia na forma:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t  

Sacou? Nós vamos derivar z = tan ⁡ ( x 2 + y ) parcialmente em relação a x e em relação a y , para obter ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , respectivamente. E vamos derivar x = 2 t , y = t 2 , em relação a t , para obter d x d t e d y d t .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

z = tan ⁡ x 2 + y

Derivando ela parcialmente em relação a x , usando a regra da cadeia, temos:

∂ z ∂ x = sec 2 ⁡ ( x 2 + y ) ∙ 2 x

Da mesma forma, derivando parcialmente em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = sec 2 ⁡ ( x 2 + y ) ∙ ( 1 )

Passo 3

Agora derivando a equação paramétrica x = 2 t em relação a t , temos:

d x d t = 2

E derivando a segunda equação paramétrica, y = t 2 , em relação a t , temos:

d y d t = 2 t

Passo 4

Então, juntando tudo na fórmula da regra da cadeia, vista no passo 1 , teremos:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t  

d z d t = sec 2 ⁡ ( x 2 + y ) ∙ 2 x ∙ 2 + sec 2 ⁡ x 2 + y ∙ 1 ∙ ( 2 t )

Logo,

d z d t = 4 x sec 2 ⁡ ( x 2 + y ) + 2 t sec 2 ⁡ x 2 + y

d z d t = sec 2 ⁡ x 2 + y ( 4 x + 2 t )

Não é necessário substituir as expressões por x e y em termos de t . Porque essa derivada pode ser interpretada como a taxa de variação de z com relação a t quando o ponto ( x ,   y ) se move ao longo da curva C   com equações paramétricas x = 2 t e y = t 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

sec 2 ⁡ x 2 + y ( 4 x + 2 t )

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