Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função

f x , y = y + cos ⁡ x y

a) Determine a equação do plano tangente à superfície z = f ( x , y ) no ponto P = ( 0,3 , f 0,3 )

b) Determine uma equação da reta normal ao plano tangente do item anterior no ponto P

c) Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de f ( x , y ) se x = 0.3 e y = 2.7

Passo 1

Letra a)

Você lembra como calcula o plano tangente de uma função?

A equação vetorial geral do plano tangente é

x - x 0 , y - y 0 , z - f x 0 , y 0 ∙ f x x 0 , y 0 , f y x 0 , y 0 , - 1 = 0

Assim, nosso x 0 , y 0 = ( 0,3 ) e precisamos então calcular f x 0,3 ; f y 0,3 ; f ( 0,3 )

Calculando f ( 0,3 ) :

f 0,3 = 3 + cos ⁡ 0 3 = 4

Calculando f x :

f x = ∂ y + cos ⁡ x y ∂ x = - s e n x y y

Calculando f x ( 0,3 ) :

f x 0,3 = - s e n 0 3 3 = 0

Calculando f y :

f y = ∂ y + cos ⁡ x y ∂ y = 1 + x y 2 s e n x y

Calculando f y 0,3 :

f y 0,3 = 1 + 0 3 s e n 0 3 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que calculamos tudo para o plano tangente, só substituir na equação vetorial

x - 0 , y - 3 , z - 4 ∙ 0,1 , - 1 = 0

Desenvolvendo o produto vetorial:

y - 3 - z + 4 = 0

Ou seja:

y - z = - 1

É a equação do nosso ponto tangente no ponto P !

Passo 3

Letra b)

Dado que nosso plano tem equação y - z = - 1 , sabemos que o vetor cujas componentes são os coeficientes das variáveis x   ,   y   ,   z do plano tangente nos dão um vetor normal ao plano. Logo, o vetor normal ao plano do item anterior é

N → = ( 0,1 , - 1 )

A equação de uma reta r ( t ) que tem direção   V → e passa num ponto P 0 é dada por:

r t = P 0 + V → . t

Logo, nossa reta normal ao plano que passa no ponto P = ( 0,3 , 4 ) e tem vetor normal   N → = ( 0,1 , - 1 ) é :

r t = 0,3 , 4 + 0,1 , - 1 . t

Passo 4

Letra c)

Para linearizarmos a nossa função já sabendo quem é o plano tangente, basta chamarmos a variável z = L ( x , y ) e substituir na equação do plano y - z = - 1

Logo, nossa equação próxima do ponto ( 0,3 )

L x , y = y + 1

Calculando L ( 0.3,2.7 )

L 0.3,2.7 = 2.7 + 1 = 3.7

Logo, f ( 0.3,2.7 ) ≈ 3.7

Resposta

y - z = - 1

r t = 0,3 , 4 + 0,1 , - 1 . t

f ( 0.3,2.7 ) ≈ 3.7

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