Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função

f x , y = 1 + x ln ⁡ x y - 5

  1. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de z = f ( x , y ) no ponto 2,3 , f 2,3
  2. Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de f ( x , y ) se x = 2,03 e y = 2,95

Passo 1

a )

Para calcular o plano tangente no ponto ( 2,3 )

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Temos que achar f x e f y :

f x = ln ⁡ x y - 5 + x y x y - 5

f y = x 2 x y - 5

Tranquilo? Usamos a regra do produto pra calcular f x .

No ponto ( 2,3 ) :

f x = ln ⁡ 2.3 - 5 + 2.3 2.3 - 5 = ln ⁡ 1 + 6 = 6

f y = 2 2 2.3 - 5 = 4

E também f 2.3

f 2,3 = 1 + 2 ln ⁡ 2.3 - 5 = 1 + 2 ln ⁡ 1 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, a equação do plano tangente é

z = f 2,3 + f x x - 2 + f y y - 3

z = 1 + 6 x - 2 + 4 y - 3

6 x + 4 y - z = 23

Passo 3

b )

Para calcular o valor aproximado, basta substituirmos

x = 2,03

y = 2,95

Na expressão do plano tangente, já que

f ( x , y ) ≈ L ( x , y )

Então

f ( x , y ) ≈ 1 + 6 x - 2 + 4 y - 3

Substituindo

f 2,03 , ;   2,95 ≈ 1 + 6 2,03 - 2 + 4 2,95 - 3 = 0,98

Resposta

a )

z = 1 + 6 x - 2 + 4 y - 3

b )

f 2,03 , ;   2,95 ≈ 0,98

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