Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Plano tangente e reta normal

Seja z = x e x 2 - y 2 .

  1. Calcule um valor aproximado para a variação Δ z em z , quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002
  2. Calcule um valor aproximado para z correspondente a x = 1,01 e y = 1,002

Passo 1

Para acharmos a aproximação da variação precisamos achar o valor de z em x = 1 e y = 1 e o valor aproximado de z para x = 1,01 e y = 1,002 . Então vamos começar pela letra b achando o valor de z para x = 1,01 e y = 1,002 .

b )

Primeiro vamos achar o plano tangente.

Para acharmos o plano tangente primeiro precisamos do vetor gradiente, e para calcular o vetor gradiente precisamos primeiro trocar f x , y por z e fazer

z = x e x 2 - y 2

F x , y , z = x e x 2 - y 2 - z

Agora achamos as derivadas parciais de F

∂ F ∂ x = e x 2 - y 2 + x e x 2 - y 2 2 x = e x 2 - y 2 + 2 x 2 e x 2 - y 2

∂ F ∂ y = x e x 2 - y 2 - 2 y = - 2 x y e x 2 - y 2

∂ F ∂ z = - 1

O vetor gradiente vai ser

∇ F = e x 2 - y 2 + 2 x 2 e x 2 - y 2 , - 2 x y e x 2 - y 2 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O ponto de tangente vai ser em x = 1 e y = 1

O vetor gradiente vai ser

∇ F = e 1 2 - 1 2 + 2 ∙ 1 2 e 1 2 - 1 2 , - 2 ∙ 1 ∙ 1 e 1 2 - 1 2 , - 1

∇ F = 1 + 2 , - 2 , - 1

∇ F = 3 , - 2 , - 1

Tranquilo?

Passo 3

Antes de usar a fórmula do plano tangente vamos achar o valor de z para x = 1 e y = 1

z = 1 e 1 2 - 1 2

z = 1

O plano tangente vai ser

x , y , z ∙ 3 , - 2 , - 1 = 1,1 , 1 ∙ 3 , - 2 , - 1

3 x - 2 y - z = 3 - 2 - 1

3 x - 2 y - z = 0

Passo 4

O valor aproximado de z em x = 1,01 e y = 1,002 vai ser

z = 3 x - 2 y

Trocando x e y pelos seus valores, sacou? Então vai ficar

z = 3 1,01 - 2 1,002

z = 3,0 3 - 2,004

z = 1,026

Passo 5

a )

A variação vai ser

Δ z = 1,026 - 1 = 0,026

Resposta

  1. 0,026
  2. 1,026

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