Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função f x , y = x 2 y + e y 5 - 5 .

a) Calcule f x 1 , 1 , f y 1 , 1 e explique as suas interpretações geométricas.

b) Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y no ponto 1 , 1 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 1 , 1 , f 1,1 .

d) Encontre a linearização de f x , y em 1,1 , use-a para calcular aproximadamente f 1 , 1 ,     0,9 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Passo 1

a) Olá! Ele começa pedindo para calcularmos as derivadas parciais de f em ( 1 , 1 ) . Vamos começar por f x 1 , 1 . Nossa função é

f x , y = x 2 y + e y 5 - 5

Aí vamos derivar ela em relação a x , para isso a gente considera y uma constante e usar as regrinhas de derivação mesmo.

f x = ∂ x 2 y + e y 5 - 5 ∂ x = ∂ x 2 y ∂ x + ∂ e y 5 - 5 ∂ x = ∂ x 2 y ∂ x + 0

Vamos tirar a constante de dentro da derivada

f x = y ∂ x 2 ∂ x

f x = 2 x y

Agora é substituir o ponto 1,1 :

f x 1,1 = 2

E a interpretação geométrica é que se tivermos uma reta tangente a nossa função no ponto 1 , 1 e na direção do vetor 1,0 (paralelo ao eixo x ), essa reta vai ter inclinação f x 1 , 1 = 2 .

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Passo 2

Bora calcular f y 1,1 . Lembrando da nossa função

f x , y = x 2 y + e y 5 - 5

Aí vamos derivar ela em relação a y , para isso, agora, a gente considera x uma constante e usar as regrinhas de derivação mesmo.

f y = ∂ x 2 y + e y 5 - 5 ∂ y = ∂ x 2 y ∂ y + ∂ e y 5 ∂ y + ∂ - 5 ∂ y = ∂ x 2 y ∂ y + 5 y 4 e y 5 + 0

Vamos tirar a constante de dentro da derivada:

f y = x 2 ∂ y ∂ y + 5 y 4 e y 5

f y = x 2 + 5 y 4 e y 5

Agora é substituir o ponto 1 , 1 :

f y 1 , 1 = 1 + 5 e

E a interpretação geométrica é que se tivermos uma reta tangente a nossa função no ponto 1 , 1 e na direção do vetor 0,1 (paralelo ao eixo y ), essa reta vai ter inclinação f y 1 , 1 = 1 + 5 e .

Passo 3

b) Cara, guarda isso no seu coração:

A direção e o sentido de maior crescimento da função é a direção e sentido do vetor gradiente da função no ponto dado. Vamos montar ele. Ele tem essa carinha:

∇ f = f x , f y

No ponto 1 , 1 dado

∇ f 1 , 1 = f x 1 , 1 , f y 1 , 1

Já temos essas coisas da letra (a), então é só substituir

∇ f 1 , 1 = 2 , 1 + 5 e

Então a direção e sentido da taxa máxima de variação é a direção e sentido de ∇ f 1 , 1 = 2 ,   1 + 5 e .

Passo 4

Outra coisa para guardar no coração:

A taxa máxima de crescimento é o módulo do vetor gradiente, que vale:

∇ f 1 , 1 = 2 2 + 1 + 5 e 2

∇ f 1 , 1 = 4 + 1 + 5 e 2

Passo 5

c) Cara, para ter o plano tangente a uma superfície, a gente precisa do ponto de tangência, no nosso caso P = 1 , 1 , f 1,1 . Vamos achar f 1,1 :

f 1 , 1 = 1 + e - 5 = e - 4

Precisamos também de um vetor normal a superfície nesse ponto n → . Aí como a gente o acha?

Podemos ter ele direto das derivadas parciais da nossa função. Com a fórmulinha

n → = f x , f y , - 1

Substituindo essas derivadas para o nosso ponto 1 , 1 :

n → = f x 1 , 1 ,   f y 1 , 1 , - 1

n → = 2 , 1 + 5 e , - 1

Passo 6

Como a gente tem tudo, vamos jogar nossos dados na equação do plano:

n → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

2 , 1 + 5 e , - 1 ⋅ x - 1 ,   y - 1 , z - e - 4 = 0

2 x - 2 + 1 + 5 e y - 1 - 5 e - z + e - 4 = 0

2 x + 1 + 5 e y - z = 7 + 4 e

Passo 7

d) Cara a aproximação linear de uma função em um ponto é dada pela expressão do plano tangente a essa função nesse ponto.

E repara, queremos a aproximação no ponto 1 , 1 , onde já temos o plano tangente

2 x + 1 + 5 e y - z = 7 + 4 e ∴ z = 2 x + 1 + 5 e y - 7 - 4 e

Aí a aproximação para a nossa função nesse ponto vai ser

f x , y ≈ 2 x + 1 + 5 e y - 7 - 4 e

Passo 8

Agora a gente usa essa expressão para calcular a aproximação de f 1,1 ,     0,9

f x , y ≈ 2 x + 1 + 5 e y - 7 - 4 e

f 1,1 ,   0,9 ≈ 2 1 , 1 + 1 + 5 e 0 , 9 - 7 - 4 e

f 1,1 ,   0,9 ≈ - 3,9 + 0,5 e

E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto 1 , 1 para calcular f 1 , 1 ,   0,9 , porque os pontos 1,1 e 1 , 1 ,   0,9 estão bem próximos, e f e suas derivadas parciais são contínuas no ponto 1 , 1 .

Ou seja, porque a função é diferenciável.

Uhul! Arrasamos!

Resposta

a) f x 1,1 = 2 , f y 1,1 = 1 + 5 e

b) Taxa máxima ocorre na direção e sentido de ∇ f 1 , 1 = 2 , 1 + 5 e . E vale 4 + 1 + 5 e 2 .

c) 2 x + 1 + 5 e y - z = 7 + 4 e

d) f 1,1 ,   0,9 ≈ - 3,9 + 0,5 e

E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto 1,1 para calcular f 1 , 1 ,   0,9 , porque os pontos 1 , 1 e 1 , 1 ,   0,9 estão bem próximos, e a função é diferenciável em 1,1 .

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