Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine a aproximação linear da função f x , y = 20 - x 2 - 7 y 2 em ( 2,1 ) , e use-a para calcular aproximadamente f ( 1,95 ; 1,08 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos encontrar a aproximação linear local de uma função

f x , y = 20 - x 2 - 7 y 2

Em um ponto ( 2,1 ) . E usar essa informação para calcular essa mesma função, mas em um ponto pertinho dali

f ( 1,95 ; 1,08 )

A aproximação linear local serve para encontrarmos o valor de alguma determinada função em um ponto perto (ponto geralmente quebrado, com a parte decimal pequena) de um ponto mais ‘comportado’

Como relembrar é viver, a aproximação linear de uma função f ( x , y ) em um ponto comportado ( a , b ) é:

f x , y ≈ f a , b + f x a , b x - a + f y ( a , b ) ( x - b )

Então precisamos encontrar algumas coisas

  • A função aplicada no ponto comportado
  • As derivadas parciais também aplicadas no ponto comportado
  • Depois substituir esses valores na expressão para aproximação
  • E por fim, podemos calcular a função no ponto x , y = ( 1,95 ; 1,08 )

Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando a função no ponto comportado ( 2,1 ) :

f x , y = 20 - x 2 - 7 y 2

Aí aplicando temos

f 2,1 = 20 - 2 2 - 7.1 2 = 20 - 4 - 7 = 9 = 3

Tranquilo?

Agora vamos para as parciais!

Passo 3

Nossa função é:

f x , y = 20 - x 2 - 7 y 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais! Começando pela f x :

f x = - 1 2 20 - x 2 - 7 y 2 . - 2 x = - x 20 - x 2 - 7 y 2

E agora vamos aplicar em ( 2,1 ) :

f x 2,1 = - 2 9 = - 2 3

Belezinha? Vamos para a parcial em y !

f y = - 1 2 20 - x 2 - 7 y 2 . - 14 y = - 7 y 20 - x 2 - 7 y 2

E agora vamos aplicar em ( 2,1 ) :

f y 2,1 = - 7 9 = - 7 3

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora vamos jogar todos esses resultados na expressão para aproximação linear! Lá do passo 1:

f x , y ≈ f a , b + f x a , b x - a + f y ( a , b ) ( x - b )

E dos passos 2 e 3:

f 2,1 = 3

f x 2,1 = - 2 3

f y 2,1 = - 7 3

E queremos saber quanto vale a função em x , y = ( 1,95 ; 1,08 ) , então o ponto comportado é o nosso ( 2,1 ) . Agora é só substituir:

f 1,95 ; 1,08 ≈ f 2 , 1 + f x 2 , 1 1,95 - 2 + f y ( 2 , 1 ) ( 1,08 - 1 )

f 1,95 ; 1,08 ≈ + 3 - 2 3 . 1,95 + 4 3 - 7 3 . 1,08 + 7 3 = 2,84

E é isso! A função nesse ponto vale 2,84 !

Resposta

2,8 4

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