Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função f x , y , z = e x 2 + y 2 - z .

a) Encontre o domínio e a imagem de f x , y , z .

b) Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y , z no ponto 1,1 , 2 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Identifique e esboce a superfície de nível que passa pelo ponto 1,1 , 2 . Esboce o vetor gradiente no mesmo ponto 1,1 , 2 . Qual é a relação geométrica entre a superfície de nível e o vetor gradiente?

d) Encontre a linearização de f x , y , z em 1,1 , 2 , use-a para calcular aproximadamente f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Passo 1

a) Pensar em domínio de uma função é olhar para expressão dela e ver se tem denominador, raiz par ou log. Se tiver, a gente usa essas restrições aqui para criar inequações que descrevem nosso domínio:

d e n o m i n a d o r ≠ 0

a r g u m e n t o   d a   r a i z   p a r ≥ 0

a r g u m e n t o   d o   l o g > 0

E como a gente tem uma função de três variáveis, nosso domínio deve ser uma região no espaço tridimensional x y z , tá? Vamos lá!

Mas olha para a nossa função

f x , y , z = e x 2 + y 2 - z

Ela não tem denominador, raiz ou log. Logo, ela não tem nenhuma restrição no domínio. Então nosso domínio é todos os reais no espaço x y z :

D = R 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para olhar a imagem, a gente vai fazer algo parecido. Vamos olhar nossa função para ver se tem essas características:

t e r m o   c o m   e x p o e n t e   p a r ≥ 0 ,     e x p o n e n c i a l > 0 ,     r a i z   p a r ≥ 0

A gente vê que a nossa função tem um exponencial. Aí a gente pode escrever:

e x 2 + y 2 - z > 0 ∴ f x , y , z > 0

Como o expoente desse e pode assumir qualquer valor (já que não temos só termos positivos ou com raiz par), não temos outras características dessa função para avaliar a imagem.

Dessas coisinhas a gente tira que

f x , y , z > 0

I = ( 0 , ∞ )

Passo 3

b) Cara, guarda isso no seu coração:

A direção e o sentido de maior crescimento da função é a direção e sentido do vetor gradiente da função no ponto dado. Vamos calcular ele

f x , y , z = e x 2 + y 2 - z

∇ f = f x , f y , f z

Usando a regra da cadeia

f x = 2 x e x 2 + y 2 - z = 2 x e x 2 + y 2 - z  

Para as outras o cálculo é parecido:

f y = 2 y e x 2 + y 2 - z ,     f z = - e x 2 + y 2 - z

∇ f = 2 x e x 2 + y 2 - z , 2 y e x 2 + y 2 - z , - e x 2 + y 2 - z

Substituindo o ponto dado, que foi P 0 = 1,1 , 2 :

∇ f 1,1 , 2 = 2 e 1 + 1 - 2 ,   2 e 1 + 1 - 2 , - e 1 + 1 - 2

∇ f 1,1 , 2 = 2 e 0 ,   2 e 0 , - e 0

∇ f 1,1 , 2 = 2 ,   2 , - 1

Então a direção e sentido da taxa máxima de variação é a direção e sentido de ∇ f 1,1 , 2 = 2 ,   2 , - 1 .

Passo 4

Outra coisa para guardar no coração:

A taxa máxima de crescimento é o módulo do vetor gradiente, que vale:

∇ f 1,1 , 2 = 2 2 + 2 2 + - 1 2

∇ f 1,1 , 2 = 4 + 4 + 1

∇ f 1,1 , 2 = 9

∇ f 1,1 , 2 = 3

Passo 5

c) Para achar a superfície de nível no ponto 1,1 , 2 , a gente precisa substitui ele na nossa função

f x , y , z = e x 2 + y 2 - z

f 1,1 , 2 = e 1 2 + 1 2 - 2 = e 0 = 1

Aí a nossa superfície de nível vai ser a equação que a gente encontra quando iguala essa constante que a gente achou, o 1 , com a expressão de f x , y , z . Assim oh:

f x , y , z = e x 2 + y 2 - z = 1

e x 2 + y 2 - z = 1

ln ⁡ e x 2 + y 2 - z = ln ⁡ 1

x 2 + y 2 - z = 0

z = x 2 + y 2

Essa é a nossa superfície de nível! Como ela tem apenas dois termos ao quadrado, isolados e positivos. E do outro lado a gente só tem o z , dizemos que isso é um paraboloide elíptico!

Uma outra forma de ver isso, que também vai ajudar no esboço, é achar a interseção dessa superfície com os planos   x = 0 , y = 0 . (seus traços) Vamos ter parábolas viradas para cima que passam pela origem. Daí que vem o nome paraboloide.

O esboço dele fica assim

Percebe que ele passa pela origem, já que 0,0 , 0 satisfaz sua equação.

Passo 6

Agora a gente faz o vetor gradiente no ponto 1,1 , 2 , que é

∇ f 1,1 , 2 = 2 ,   2 , - 1

Fica assim

A relação geométrica entre esse vetor e a superfície é que esse vetor ∇ f 1,1 , 2 = 2 ,   2 , - 1   é normal a nossa superfície.

O vetor gradiente de uma função de 3 variáveis em um ponto P é normal a superfície de nível que passa por esse ponto.

Passo 7

d) A fórmulinha da aproximação linear é:

f x , y , z ≈ f x 0 , y 0 , z 0 + f x ( P ) x - x 0 + f y ( P ) y - y 0 + f z ( P ) z - z 0

Onde P = x 0 , y 0 , z 0 é o ponto que ele pediu a aproximação, ou seja

P = x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 2

E a gente tem do vetor gradiente nesse ponto que

∇ f 1,1 , 2 = f x P ,   f y P , f z P = 2 ,   2 , - 1

f x P = 2 ,     f y P = 2 ,     f z P = - 1

E vimos também que

f P = f x 0 , y 0 , z 0 = f 1,1 , 2 = 1

Substituindo essas informações na fórmulinha

f x , y , z ≈ 1 + 2 x - 1 + 2 y - 1 - z - 2

f x , y , z ≈ 1 + 2 x - 2 + 2 y - 2 - z + 2

f x , y , z ≈ 2 x + 2 y - z - 1

Passo 8

Agora a gente usa essa expressão para calcular a aproximação de f 1,1 ,   1,1 ,   1,9

f x , y , z ≈ 2 x + 2 y - z - 1

f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 ≈ 2 1,1 + 2 1,1 - 1,9 - 1

f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 ≈ 2,2 + 2 , 2 - 1,9 - 1

f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 ≈ 1,5

E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto 1,1 , 2 para calcular f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 , porque os pontos 1,1 , 2 e 1,1 ,   1,1 ,   1,9 estão bem próximos, e as derivadas parciais de f :

f x = 2 x e x 2 + y 2 - z ,     f y = 2 y e x 2 + y 2 - z ,     f z = - e x 2 + y 2 - z

são contínuas no ponto 1,1 , 2 .

Resposta

a)   D = R 3 , I = ( 0 , ∞ )

b) Taxa máxima ocorre na direção e sentido de ∇ f 1,1 , 2 = 2 ,   2 , - 1 . E vale 3 .

c)

Temos um paraboloide elíptico e o vetor gradiente é normal a essa superfície.

d) f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 ≈ 1,5

E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto 1,1 , 2 para calcular f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 , porque os pontos 1,1 , 2 e 1,1 ,   1,1 ,   1,9 estão bem próximos, e as derivadas parciais de f são contínuas no ponto 1,1 , 2 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas