Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Encontre uma aproximação linear para:

c )   4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos encontrar a aproximação linear local de uma função, mas não sabemos qual é essa função!

o problema nos disse para calcular esse valor aqui

4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2

Então uma função que calcularia seria essa aqui:

f x , y = x 2 + y 2 + z 2

No ponto

f ( 4,01 ; 3,98 ; 2,02 )

A aproximação linear local serve para encontrarmos o valor de alguma determinada função em um ponto perto (ponto geralmente quebrado, com a parte decimal pequena) de um ponto mais ‘comportado’, que no nosso caso seria ( 4,4 , 2 )

Como relembrar é viver, a aproximação linear de uma função f ( x , y ) em um ponto comportado ( a , b ) é:

f x , y , z ≈ f a , b , c + f x a , b , c x - a + f y a , b , c y - b + f z ( a , b , c ) ( z - c )

Então precisamos encontrar algumas coisas

  • A função aplicada no ponto comportado
  • As derivadas parciais também aplicadas no ponto comportado
  • Depois substituir esses valores na expressão para aproximação
  • E por fim, podemos calcular a função no ponto x , y = ( 0 4,01 ; 3,98 ; 2,02 )

Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando a função no ponto comportado ( 4,4 , 2 ) :

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Aí aplicando temos

f 4,4 , 2 = 4 2 + 4 2 + 2 2 = 36 = 6

Tranquilo?

Agora vamos para as parciais!

Passo 3

Nossa função é:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais! Começando pela f x :

f x = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 . 2 x =   x x 2 + y 2 + z 2

E agora vamos aplicar em ( 4,4 , 2 ) :

f x 4,4 , 2 = 4 36   = 2 3

Belezinha? Vamos para a parcial em y !

f y = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 . 2 y =   y x 2 + y 2 + z 2

E agora vamos aplicar em ( 4,4 , 2 ) :

f y 4,4 , 2 = 4 36 = 2 3

Tudo bem até aqui?

f z :

f z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 . 2 z =   z x 2 + y 2 + z 2

E agora vamos aplicar em ( 4,4 , 2 ) :

f z 4,4 , 2 = 2 36 = 1 3

Belezura?

Passo 4

Agora vamos jogar todos esses resultados na expressão para aproximação linear! Lá do passo 1:

f x , y , z ≈ f a , b , c + f x a , b , c x - a + f y a , b , c y - b + f z ( a , b , c ) ( y - c )

E dos passos 2 e 3:

f 4,4 , 2 = 6

f x 4,4 , 2 = 2 3

f y 4,4 , 2 = 2 3

f z 4,4 , 2 = 1 3

E queremos saber quanto vale a função em x , y , z = ( 4,01 ; 3,98 ; 2,02 ) , então o ponto comportado é o nosso ( 4,4 , 2 ) . Agora é só substituir:

f 4,01 ; 3,98 ; 2,02 ≈ f 4,4 , 2 + f x 4,4 , 2 4,01 - 4 + f y 4,4 , 2 3,98 - 4 + f z ( 4,4 , 2 ) ( 2,02 - 2 )

f 4,01 ; 3,98 ; 2,02 ≈ 6 + 2 3 0,01 + 2 3 - 0,02 + 1 3 0,02 = 6,0066

E é isso! A função nesse ponto vale 6,0066 !

Resposta

6,0066

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