Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Funções de Várias Variáveis, Aproximações Lineares, Derivadas Parciais e Vetor Gradiente

Considere a função

f x , y , z = x e y z ,   z ≠ 0

a) Encontre a aproximação linear L x , y , z de f x , y , z no ponto 2,0 , 1 .

b) Utilize L x , y , z para encontrar uma aproximação para f 1.9970 ,   0.0020 ,   1.0012 .

c) Determine os pontos x , y , z , z ≠ 0 , tais que ∇ f x , y , z = - 1,1 , 1 .

Passo 1

a) Encontrar a aproximação linear de uma função em torno de um ponto é o mesmo que encontrar o plano tangente neste ponto! Mas... calma aí, plano tangente... Como assim? Essa função que temos é de 3 variáveis! Ou seja, o que temos é:

w = f x , y , z

w = x e y z

E eu te pergunto, como vamos esboçar essa parada? Entramos na quarta dimensão: dados x , y e z , temos w !

Neste caso, a aproximação é dada pela expressão:

L x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0 + f x . x - x 0 + f y . y - y 0 + f z . z - z 0

Ou seja, na verdade, o que temos é o produto escalar do plano tangente, ∇ f x , y , z . x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 , somando ao valor da função no ponto, f x 0 , y 0 , z 0 ! Show?

Assim, tudo o que precisamos é encontrar esse vetor gradiente e o valor da função no tal ponto! Para a função:

f x , y , z = x e y z

Temo que

f x = e y z

f y = x e y z

f z = - x e y z 2

E, então, o vetor gradiente é

∇ f x , y , z = e y z ,   x e y z ,   - x e y z 2

Que, para o ponto 2,0 , 1 é:

∇ f 2,0 , 1 = 1 ,   2 ,   - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Colocando de volta na fórmula:

L x , y , z = f 2,0 , 1 + 1 ,   2 ,   - 2 . x - 2 , y - 0 , z - 1

Fazendo os produtos escalares e resolvendo f 2,0 , 1 = 2 . e 0 1 , temos:

L x , y , z = 2 + x - 2 + 2 y + ( - 2 z + 2 )

L x , y , z = x + 2 y - 2 z   + 2 - 2 + 2

Portanto, nossa aproximação linear é:

L x , y , z = x + 2 y - 2 z + 2

E é isso aí :D

Passo 3

b) Agora, para saber a aproximação de f 1.9970 ,   0.0020 ,   1.0012 , basta substituir esses valores na equação da nossa aproximação:

L x , y , z = 1,9970 + 2 . 0,0020 - 2 . 1,0012 + 2 = - 0 , 0014

Simples, né? Só colocar os valores mesmo!

Passo 4

c) Queremos ver os pontos que fazem ∇ f x , y , z = - 1,1 , 1 , certo? Então, pegamos o vetor gradiente, que já calculamos:

∇ f x , y , z = e y z ,   x e y z ,   - x e y z 2

E igualamos ao vetor - 1,1 , 1 ! Para isso, resolvemos o sistema:

e y z = - 1 x e y z = 1 - x e y z 2 = 1

Veja, que, dividindo a segunda equação pela primeira, teremos:

x e y z   . z e y = 1 - 1

Ou seja,

x = - 1

Agora, colocando a segunda equação para na terceira, teremos:

x e y z . - 1 z = 1

Como x e y z = 1 , então

- 1 z = 1

z = - 1

Logo, como z vale - 1 , temos, pela primeira equação:

e y - 1 = - 1

e y = 1

y = 0

Assim, temos que o ponto que torna o vetor gradiente igual a - 1,1 , 1 é o - 1,0 , - 1

Resposta

a) A aproximação linear é L x , y , z = x + 2 y - 2 z + 2

b) O valor da aproximação é - 0 , 0014

c) O ponto é - 1,0 , - 1

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