Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Calculo 2 – UNICAMP – P1

  1. Encontre uma aproximação linear para 4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 .
  2. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z = f x 2 + y 2 . Mostre que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0 .

Passo 1

A ideia para resolvermos esta questão é obtermos uma função aproximação linear que seja bem convincente, e assim facilite e muito nossos cálculos. Essa função L será tal que:

L x , y , z ≈ f x , y , z

Só que nós não conhecemos nada sobre a nossa função f . Portanto, vamos devagar, começar escrevendo a nossa função de linearização.

Sendo assim, vamos utilizar a seguinte função de linearização em torno de um ponto x 0 , y 0 , z 0 :

L x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0 + f x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y - y 0 + f z z 0 , z 0 , z 0 ⋅ z - z 0

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Passo 2

Agora vamos começar a detalhar a nossa função linearização, a começar pela nossa função f .

A chave para identificarmos a função f é observar a função que queremos obter o valor. Isto é:

4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2

O que acontece se colocarmos, no lugar desses números, coeficientes x , y e z ? Isto é:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Pronto, assim obtivemos a nossa função. Agora vamos determinar quem é o ponto x 0 , y 0 , z 0 . Aqui, devemos olhar o número inteiro mais próximo dos que substituímos por incógnitas. Lembrando, os números foram 4,01 , 3,98 e 2,02 .

Portanto, se pegarmos os inteiros mais próximos, teremos:

x 0 , y 0 , z 0 = 4,4 , 2

E estamos quase lá!

Passo 3

Agora temos que determinar as derivadas parciais e depois aplicar no ponto x 0 , y 0 , z 0 = 4,4 , 2 .

Então, vamos utilizar as regras de derivação que conhecemos bastante e a aplicarmos para o caso de cada derivada.

Muito cuidado heim! Quando calcularmos a derivada parcial em relação a x , consideramos y e z uma constante, e assim por diante.

Sendo assim, se derivarmos parcialmente em relação a x , temos:

∂ f ∂ x x , y , z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 = x x 2 + y 2 + z 2

E para as outras derivadas parciais, temos:

∂ f ∂ y x , y , z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 = y x 2 + y 2 + z 2

∂ f ∂ z x , y , z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 = z x 2 + y 2 + z 2

E por fim, vamos calcular o valor destas derivadas no ponto 4,4 , 2 . Assim, obtemos:

∂ f ∂ x 4,4 , 2 = 4 4 2 + 4 2 + 2 2 = 4 36 = 4 6 = 2 3

∂ f ∂ y 4,4 , 2 = 4 4 2 + 4 2 + 2 2 = 4 36 = 4 6 = 2 3

∂ f ∂ z 4,4 , 2 = 2 4 2 + 4 2 + 2 2 = 2 36 = 2 6 = 1 3

Passo 4

Substituindo todos os valores na nossa função linearização, vamos obter:

L x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0 + f x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y - y 0 + f z z 0 , z 0 , z 0 ⋅ z - z 0

L x , y , z = f 4,4 , 2 + f x 4,4 , 2 ⋅ x - 4 + f y 4,4 , 2 ⋅ y - 4 + f z 4,4 , 2 ⋅ z - 2

L x , y , z = 4 2 + 4 2 + 2 2 + 2 3 ⋅ x - 4 + 2 3 ⋅ y - 4 + 1 3 ⋅ z - 2

L x , y , z = 6 + 2 3 ⋅ x - 4 + 2 3 ⋅ y - 4 + 1 3 ⋅ z - 2

E, para finalizarmos a questão, quando x = 4,01 , y = 3,98 e z = 2,02 , vamos obter:

L 4,01 ; 3,98 ; 2,02 = 6 + 2 3 ⋅ 4,01 - 4 + 2 3 ⋅ 3,98 - 4 + 1 3 ⋅ 2,02 - 2

L 4,01 ; 3,98 ; 2,02 = 6 + 2 3 ⋅ 0,01 + 2 3 ⋅ - 0,02 + 1 3 ⋅ 0,02

L 4,01 ; 3,98 ; 2,02 = 6

E então,

4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 ≈ 6

Resposta

4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 ≈ 6

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