Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Questão 1: Considere a função f x ,   y = x e x y .

  1. Encontre a linearização de f no ponto 2 ,   0 .
  2. Use o resultado do item anterior para encontrar um valor aproximado para

1,9 e - 1,9 × 0,1

Passo 1

a )

Então, aqui vamos precisar de se lembrar da fórmula da linearização (Talvez você a conheça melhor com o nome de aproximação linear ):

L x ,   y = f x 0 , y 0 + f x ⋅ x - x 0 + f y ⋅ y - y 0

No nosso caso, o x 0 = 2 e o y 0 = 0 , pois é o ponto do qual estamos nos aproximando, saca?

L x ,   y = f 2 ,   0 + f x ⋅ x - 2 + f y ⋅ y

Repare que tem três termos ainda a se determinar: a função no ponto, e as duas derivadas parciais. Então venha comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as duas derivadas da fórmula, já que a função é f x ,   y = x e x y ...

f x = ∂ f ∂ x                 →             f x = ∂ x e x y ∂ x →

Aplicando corretamente a regra da soma e a da cadeia...

f x = ∂ x ∂ x ⋅ e x y + x ⋅ ∂ e x y ∂ x     →

f x = e x y + x e x y ⋅ ∂ x y ∂ x     →

f x = e x y + x y e x y

Calculando agora a derivada da função em relação a y em uma conta parecida...

f y = ∂ f ∂ y                 →             f y = ∂ x e x y ∂ y →

f y = x ∂ e x y ∂ y       →

f y = x 2 e x y

Passo 3

Veja que ainda precisamos aplicar o ponto nas duas derivadas que calculamos também...

f x = e x y + x y e x y       →               f x 2 ,   0 = e 0 + 0 = 1

f y = x 2 e x y                                   →                 f y 2 ,   0 = 2 2 ⋅ e 0 = 4

O mesmo devemos fazer com a função f (aplicar no ponto):

f x ,   y = x e x y →

f 2 ,   0 = 2 e 0

= 2

Voltando para a fórmula então...

L x ,   y = f 2 ,   0 + f x ⋅ x - 2 + f y ⋅ y

L x ,   y = 2 + 1 ⋅ x - 2 + 4 ⋅ y

Ganhamos a linearização...

L x ,   y = x + 4 y

Passo 4

b )

Pegando o ponto 1,9 ; - 0,1 e substituindo na fórmula da linearização...

L 1,9 ; - 0,1 = 1,9 + 4 - 0,1 =

1,9 - 0,4 =

1,5

Resposta

a )   L x ,   y = x + 4 y

b )   1,5

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