Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Considere a função f x , y = x 3 + y 2 . Utilizando a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 2 , 1 , f 2,1 ) . 0 valor aproximado de f ( 2.2 ,   1.3 ) é:

  1. 3.2
  2. 2.8
  3. 3.1
  4. 2.9
  5. 3.3

Passo 1

Então, essa questão foi anulada porque o resultado não estava nas alternativas.

Mas a gente vai fazer assim mesmo porque se cair de novo na sua prova, você vai mandar bem, tranquilo?

Ele quer que a gente use o plano tangente a uma superfície como aproximação da função dela.

O plano tangente a uma superfície em um ponto P 0 = ( x 0 , y 0 ) definida por z = f ( x , y ) fica assim:

z = f P 0 + f x P 0 ⋅ x - x 0 + f y P 0 ⋅ ( y - y 0 )

(É bom ter ela gravada)

E nossa aproximação fica:

f ( x , y ) ≈ f 2,1 + f x 2,1 ⋅ x - 2 + f y 2,1 ⋅ ( y - 1 )

Porque z = f x , y e P 0 = ( 2,1 )

Vamos calcular cada termo desse e substituir o ponto 2.2 ,   1.3   no final.

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Passo 2

Começando pelo mais tranquilo, vamos calcular f ( 2,1 ) :

f 2,1 = 2 3 + 1 2 = 9 = 3

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de f :

f x = 1 2 x 3 + y 2 3 x 2

f y = 1 2 x 3 + y 2 2 y

Aplicando o ponto ( 2,1 ) :

f x 2,1 = 1 2 2 3 + 1 2 3 ⋅ 2 2 = 2

f y 2,1 = 1 2 2 3 + 1 2 2 ⋅ 1 = 1 3

Passo 4

Substituindo tudo isso na nossa expressão para aproximação, a gente fica com:

f ( x , y ) ≈ f 2,1 + f x 2,1 ⋅ x - 2 + f y 2,1 ⋅ ( y - 1 )

f ( x , y ) ≈ 3 + 2 ⋅ x - 2 + 1 3 ⋅ ( y - 1 )

Passo 5

Calculando a aproximação para f ( 2.2 ,   1.3 )

f 2.2 ,   1.3 ≈ 3 + 2 ⋅ 2.2 - 2 + 1 3 ⋅ 1.3 - 1

f 2.2 ,   1.3 ≈ 3 + 0.4 + 0.1 = 3.5

Resposta

3.5 (Questão Anulada)

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