Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Seja f uma função diferenciável. Sabendo que f 2 ,   5 = 6 , ∂ f ∂ x 2,5 = - 1 e ∂ f ∂ y 2,5 = - 1 , então f ( 2.2 ,   4,9 ) é aproximadamente:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

f e pediu f ( 2.2 ,   4,9 ) , isso só tem um cheiro: de aproximação linear local!

Como relembrar é viver, a aproximação linear local nos diz que:

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y ( y - y 0 )

O valor da função em algum ponto x , y é igual a função em um ponto próximo mais as derivadas parciais nesse ponto próximo vezes ( P - P 0 ) .

Sendo assim, precisamos determinar as seguintes quantidades:

- ponto próximo;

- derivadas parciais nesse ponto;

- função aplicada nesse ponto próximo

- e depois jogar todas essas informações na fórmula da aproximação linear local!

Vamos nessa?

Passo 2

Os dados que precisamos são:

- Ponto próximo: P ( 2,5 ) já que o problema pede a função no ponto ( 2,2 ; 4,9 ) ;

- Derivadas parciais nesse ponto próximo:

f x = ∂ f ∂ x 2,5 = 1

f y = ∂ f ∂ y 2,5 = - 1

- Função no ponto próximo:

f 2,5 = 6

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos relembrar que ( P - P 0 ) é ( x - x 0 ) e ( y - y 0 ) , com:

x 0 = 2   ,   y 0 = 4

E substituir tudo isso (e as informações do passo 2) na equação da apl:

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y ( y - y 0 )

z = 6 + 1 x - 2 + - 1 . ( y - 5 )

z = x - y + 9

E agora queremos saber o valor da função em x = 2,2 e y = 4,9 :

z = 2,2 - 4,9 + 9 = 6,3

E é isso! Acabou-se!

Tranquilo? Vamos pra próxima?

Resposta

6,3

Exercícios de Livros Relacionados

A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h = f( v , t ) são apresentados na seguinte
O índice de sensação térmica W é a temperatura que se sente quando a temperatura real for T e a velocidade do vento, v ; portanto, podemos escrever W = f T , v . A tabela de valores a seguir foi extra
11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto.14. f x ,y = 1 + y 1 + x ,( 1 ,3 )
Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximação linear da função humidex quando a temperatura está próxima de 94 °F e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 80 % . Estime também o hu
Verifique a aproximação linear em (0,0) .(2 x + 3)/(4 y + 1) tildetilde 3 + 2 x - 12 y