Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Passo 1

Precisamos resolver a EDO

y v - 16 y ' = 0

Encontrando a equação característica

r 5 - 16 r = 0

Manipulando um pouco ficamos com

r r 4 - 16 = 0

Só aí já encontramos uma das nossas raízes

r = 0

Passo 2

Para encontrar as outras temos

r 4 - 16 = 0

Que é uma equação biquadrada, fazendo r 2 = x

x 2 - 16 = 0

x = ± 4

E encontramos r = ± 2 e r = ± 2 i

Passo 3

Agora precisamos encontrar a solução para cada uma das raízes

r = 0 ;     y 1 = C 1

r = 2 ;     y 2 = C 2 e 2 x

r = - 2 ;     y 3 = C 3 e - 2 x

r = ± 2 i ;       y 4 - 5 = C 4 cos ⁡ 2 x + C 5 sen ⁡ 2 x

Somando as soluções encontramos a solução geral

y x = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e - 2 x + C 4 cos ⁡ 2 x + C 5 sen ⁡ 2 x

Resposta

y x = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e - 2 x + C 4 cos ⁡ 2 x + C 5 sen ⁡ 2 x

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