Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

e) y ( 4 ) + 2 y ' ' + y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y 4 + 2 y ' ' + y = 0

Temos a equação característica:

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Pra ficar mais fácil de descobrir as raízes dessa equação, vamos chamar u = r 2 e aí, nós teremos u 2 = r 4 . Substituindo na equação característica, temos:

u 2 + 2 u + 1 = 0

Assim, nós podemos resolver como uma equação do segundo grau, usando Bhaskara:

u = - 2 ± 2 2 - 4 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) = - 2 ± 0 2

u = - 1

Achamos o valor de u , mas nós definimos u = r 2 , logo:

- 1 = r 2

r = ± - 1 → r = ± i

Repare que α = 0 e temos duas raízes complexas de multiplicidade dois (duas raízes iguais em cada par), já que nossa equação é de quarta ordem.

Então, nossa solução se encaixa no terceiro caso, das raízes complexas, mas como elas se repetem, a gente apenas multiplica x nos dois últimos termos. Fica assim:

y x = e 0 x c 1 cos ⁡ ( x ) + c 2 sin ⁡ ( x ) + c 3 x cos ⁡ ( x ) + c 4 sin ⁡ ( x )

y x = c 1 cos ⁡ ( x ) + c 2 sin ⁡ ( x ) + c 3 x cos ⁡ ( x ) + c 4 x sin ⁡ ( x )

Show!?

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ ( x ) + c 2 sin ⁡ ( x ) + c 3 x cos ⁡ ( x ) + c 4 x sin ⁡ ( x )

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