Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

i) y ( 4 ) - 13 y ' ' + 36 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y 4 - 13 y ' ' + 36 y = 0

Temos a equação característica:

r 4 - 13 r 2 + 36 = 0

Pra descobrir as raízes dessa equação, vamos chamar u = r 2 pra facilitar nossa vida. Dessa forma, u 2 = r 4 . Substituindo, temos:

u 2 - 13 u + 36 = 0

Agora podemos usar Bhaskara para descobrir os valores de u :

u = 13 ± 169 - 144 2 = 13 ± 5 2

Assim,

u 1 = 13 + 5 2 = 9

u 2 = 13 - 5 2 = 4

Mas lembra que definimos u = r 2 ? Então, para u = 9 , temos:

9 = r 2 → r = ± 3

Para u = 4 , temos:

4 = r 2 → r = ± 2

Passo 3

Repare que nós temos quatro raízes reais e distintas, r 1 = 3 , r 2 = - 3 , r 3 = 2 e r = - 2 . Então, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x + c 4 e r 4 x

Substituindo as raízes, temos nossa solução geral:

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x

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