Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.

d) t 2 y ' ' + 5 t y ' + 4 y = 0 ,   t > 0 ;   y 1 t = t - 2 ;     y 2 t = t - 2 ln ⁡ ( t )

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de segunda ordem e duas funções y ( t ) , e pediu pra gente verificar se essa função é solução da EDO. Lembra como é que faz isso?

Nós precisamos derivar a nossa função, substituir na EDO e ver se isso é igual a zero, nesse caso. Se for, ela será uma solução pra essa equação diferencial.

Vamos lá!?

Passo 2

Vamos começar verificando y 1 t = t - 2 .   Derivando y 1 t , temos:

y 1 ' t = - 2 t - 3

Derivando novamente, temos:

y 1 ' ' t = - 2 - 3 t - 4

y 1 ' ' t = 6 t - 4

Substituindo na EDO t 2 y ' ' + 5 t y ' + 4 y = 0 :

t 2 6 t - 4 + 5 t - 2 t - 3 + 4 t - 2 = 0

Multiplicando termo a termo:

6 t - 2 - 10 t - 2 + 4 t - 2 = 0

Resolvendo:

- 10 t - 2 + 10 t - 2 = 0

Como o resultado é zero, y 1 t é solução da EDO.

Passo 3

Agora vamos verificar y 2 t = t - 2 ln ⁡ ( t ) . Nós vamos derivar aplicando a regra do produto

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Nesse caso, vamos chamar f de t - 2 e g de ln ⁡ ( t ) . Assim, temos:

y 2 ' t = - 2 t - 3 ∙ ln ⁡ t + t - 2 ∙ 1 t

y 2 ' t = - 2 t 3 ln ⁡ t + 1 t 3  

Simplificando:

y 2 ' t = - 2 ln ⁡ t + 1 t 3

Nós vamos precisar derivar novamente antes de substituir na EDO. Pra isso, vamos usar agora a regra do quociente:

f g ' = f ' ∙ g - f ∙ g ' g 2

Onde f é o nosso numerador - 2 ln ⁡ t + 1 , e g é o nosso denominador t 3 . Então, vamos lá:

y 2 ' ' t = - 2 t ∙ t 3 - - 2 ln ⁡ t + 1 ∙ 3 t 2 t 3 2

y 2 ' ' t = - 2 t 2 + 6 t 2 ln ⁡ t - 3 t 2 t 6

Colocando t 2 em evidência:

y 2 ' ' t = t 2 - 2 + 6 ln ⁡ t - 3 t 6

y 2 ' ' t = 6 ln ⁡ t - 5 t 4

Passo 4

Agora sim podemos substituir na EDO:

t 2 y ' ' + 5 t y ' + 4 y = 0

t 2 6 ln ⁡ t - 5 t 4 + 5 t - 2 ln ⁡ t + 1 t 3 + 4 t - 2 ln ⁡ ( t ) = 0

Simplificando:

6 ln ⁡ t - 5 t 2 + - 10 ln ⁡ t + 5 t 2 + 4 ln ⁡ t t 2 = 0

Colocando tudo no mesmo denominador:

6 ln ⁡ t - 10 ln ⁡ t + 4 ln ⁡ t - 5 + 5 t 2 = 0

Passando o t 2 multiplicando do outro lado e simplificando mais um pouquinho, temos:

6 ln ⁡ t - 10 ln ⁡ t + 4 ln ⁡ t = 0

10 ln ⁡ t - 10 ln ⁡ t = 0

Mais uma vez chegamos a zero, portanto, y 2 t também é solução da EDO.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A m b a s   s ã o   s o l u ç ã o   d a   E D O

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