Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Seja y ( t ) uma solução particular da equação homogênea associada à equação y ' ' + p t y ' + q t y = g t .       ( 1 )

Então a solução geral de (1) é y t + c g ( t ) , em que c é uma constante arbitrária.

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar dissecando esse enunciado?

Seja y ( t ) uma solução particular da equação homogênea associada à equação y ' ' + p t y ' + q t y = g t .       ( 1 ) ,

Isso quer dizer que o lado direito da igualdade é zero. Uma equação diferencial (equação que tem derivadas) homogênea é quando g t = 0 . Quando ela é não-homogênea, g t ≠ 0 .

E que y ( t ) é solução dessa equação homogênea, então y ( t ) satisfaz a equação

y ' ' + p t y ' + q t y = 0     ( c o n d i ç ã o   1 )

E satisfazer a equação diferencial é: pegar a solução dada y ( t ) , derivar quantas vezes forem preciso (aqui só precisamos até a derivada segunda), substituir função e derivadas na equação e achar uma sentença matemática verdadeira. Isto é: achar um 0 = 0 . Beleza?

Seguimos no enunciado:

Então a solução geral de (1) é y t + c g ( t ) , em que c é uma constante arbitrária.

A solução geral de (1) é a solução que é ao mesmo tempo, satisfaz a equação diferencial homogênea e a equação diferencial não-homogênea.

Então o problema nos diz que a solução Y = y ( t ) + c g ( t ) é solução da equação diferencial

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )  

Nosso objetivo agora é testar se essa candidata a solução satisfaz a equação, encontrando uma sentença matemática verdadeira

Y ' ' + p t Y ' + q t Y = g ( t )

Algo como:

0 = 0

Que é verdade, independentemente de qualquer situação.

Beleza até aqui?

Passo 2

Para que uma função seja solução, não custa nada repetir, ela precisa satisfazer a equação diferencial. Então é isso que vamos fazer: testar se essa candidata a solução serve ou não.

O problema pergunta se Y = y ( t ) + c g ( t )

é solução para a equação diferencial

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

Agora precisamos derivar isso, duas vezes!

Você viu em cálculo 1 que a derivada da diferença é a diferença da derivada:

Y ' = y ( t ) + c g ( t ) ' = y ' t + c g ' ( t )

E isso serve para a derivada segunda também!

Y ' ' = y ( t ) + c g ( t ) ' ' = y ' ' t + c g ' ' ( t )

Certo?

Agora vou substituir isso na equação diferencial:

Y ' ' + p t Y ' + q t Y = g t

y ' ' t + c g ' ' ( t ) + p t . y ' t + c g ' ( t ) + q t . y ( t ) + c g ( t ) = g t      

Tranquilo?

Passo 3

Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em y ( t ) (e suas derivadas) e tudo que for em g ( t ) (e suas derivadas também):

y ' ' + p t y ' + q t y + c g ' ' + p t g ' + q t g = g t     ( g u a r d a   i s s o ! )

E agora vamos voltar lá para o passo 2: vamos relembrar a condição necessária para que a função y seja solução da homogênea associada:

y ' ' + p t y ' + q t y = 0     ( c o n d i ç ã o   1 )

Sendo assim, podemos substituir essa condição no primeiro colchete da esquerda ali da equação “(guarda isso)”:

y ' ' + p t y ' + q t y ⏝ = 0 + c g ' ' + p t g ' + q t g = g t    

c g ' ' + p t g ' + q t g = g ( t )

Mas bem no começo eu disse:

O que encontramos foi isso aqui:

c g ' ' + p t g ' + q t g = g ( t )

E que está longe de ser verdade para qualquer situação, já que caímos em outra equação diferencial.

Isso só seria verdade se g ( t ) ≡ 0 , o que é apenas um caso específico.

Logo, a afirmação do problema está incorreta.

E a opção certa é: falso

Por enquanto é isso pessoal!

Até a próxima!

Resposta

f a l s o

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