Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

d) y ' ' ' - 2 y ' ' + 4 y ' - 8 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y ' ' ' - 2 y ' ' + 4 y ' - 8 y = 0

Temos a equação característica:

r 3 - 2 r 2 + 4 r - 8 = 0

Vamos tentar agrupar os termos:

r 2 r - 2 + 4 r - 2 = 0

Colocando o termo comum em evidência, temos:

r 2 + 4 r - 2 = 0

Repara que pra esse produto ser verdade r 2 + 4 = 0 ou r - 2 = 0 . Dessa forma, temos:

r - 2 = 0 → r = 2

E

r 2 + 4 = 0 → r = ± - 4

r = ± 2 i

Assim, temos as raízes:

r 1 = 2 ,     r 2 = 2 i ,     r 3 = - 2 i

Então, temos duas raízes complexas na forma r = α ± β i , com α = 0 . Sendo assim, nossa solução é da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Substituindo os valores de r 1 , r 2 e r 3 na forma complexa, temos:

y x = c 1 e 2 x + c 2 cos ⁡ ( 2 x ) + c 3 sin ⁡ ( 2 x )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e 2 x + c 2 cos ⁡ ( 2 x ) + c 3 sin ⁡ ( 2 x )

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