Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

A solução geral do problema de valor inicial

y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 ,

y 0 = 1 ,   y ' = 0 = 13

É y = e a t ( c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n ( b t ) ) , onde

a =

b =

c 1 =

c 2 =

Passo 1

Oi, tudo belezinha? Vamos começar?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:

y = A e λ t

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0

A λ 2 e λ t - 2 A λ e λ t + 10 A e λ t = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ t ≠ 0 para qualquer t , então podemos dividir toda essa equação por A e λ t e ficamos com a equação característica:

λ 2 - 2 λ + 10 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 - 2 λ + 10 = 0

E agora podemos aplicar Bhaskara para achar as raízes:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4.1 . ( 10 ) 2.1 = - ( - 2 ) ± - 36 2

E daqui saem as duas raízes:

r 1 = 2 - 6 i 2 = 1 - 3 i

r 2 = 2 + 6 i 2 = 1 + 3 i

São raízes imaginárias!

E aí a solução fica uma combinação de senos e cossenos com exponencial. Como relembrar é viver, vamos rever como é a solução mais geral. Se tivermos raízes imaginárias do tipo:

λ = a ± b i

Então a solução é:

y = c 1 e a t c o s b t + c 2 e a t s e n ( b t )

No nosso caso temos que a = 1 e b = 3 , então a solução fica:

y = c 1 e t c o s 3 t + c 2 e t s e n ⁡ ( 3 t )

Agora precisamos determinar os coeficientes! Precisamos das condições iniciais =)

Passo 3

O problema nos diz que:

y 0 = 1 ,   y ' = 0 = 13

Então vamos aplicar essas condições na função solução e na derivada dela:

y = c 1 e t c o s t + c 2 e t s e n ⁡ ( t )

y 0 = c 1 = 1 ∴ c 1 = 1

E na derivada:

y ' = c 1 e t cos ⁡ t - 3 c 1 e t s e n t + c 2 e t s e n t + c 2 3 e t c o s ⁡ ( t )  

E em t = 0 :

y ' 0 = c 1 + 3 c 2 = 13

Daí usando que c 1 = 1 temos

1 + 3 c 2 = 13

3 c 2 = 12

c 2 = 4

Pronto! Agora já sabemos as constantes!

E o resumo das respostas é:

a = 1

b = 3

c 1 = 1

c 2 = 4

Então é isso pessoal! Terminamos!

Resposta

a = 1

b = 3

c 1 = 1

c 2 = 4

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