Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

l) y ' ' ' - y ' ' - 2 y ' = x - 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO não homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Pra construir nossa solução geral, nós vamos precisar de uma solução pra EDO homogênea, fazendo y ' ' ' - y ' ' - 2 y ' = 0 , e uma solução particular que vai ter o mesmo formato da função que tá no lado direito da equação ( x - 2 ).

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução da parte homogênea é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a EDO homogênea:

y ' ' ' - y ' ' - 2 y ' = 0

Temos a equação característica:

r 3 - r 2 - 2 r = 0

Colocando r em evidência:

r r 2 - r - 2 = 0

Pra que esse produto seja igual a zero, r = 0 ou r 2 - r - 2 = 0 . Daí, podemos descobrir as raízes dessa equação do segundo grau usando Bhaskara:

r = 1 ± 1 + 8 2 = 1 ± 3 2

Logo, temos da equação r 3 - r 2 - 2 r = 0 as raízes:

r 1 = 0

r 2 = 1 + 3 2 = 2

r 3 = 1 - 3 2 = - 1

Passo 3

Repare que nós temos três raízes reais e distintas, então nossa solução homogênea tem a forma:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x

Substituindo as nossas raízes:

y h x = c 1 e 0 x + c 2 e 2 x + c 3 e - 1 x

y h x = c 1 + c 2 e 2 x + c 3 e - x

Passo 4

Pra encontrar nossa solução particular, vamos olhar pra forma da função do lado direito da equação, que é x - 2 . Apesar da gente ter uma equação polinomial do primeiro grau, nós vamos usar um polinômio de segundo grau pra construir nossa solução particular. Isso porque, nossa derivada de menor ordem é de primeiro grau, então se a gente usasse um polinômio de primeiro grau, ele seria derivado e perderíamos nosso x .

Assim, vamos ter:

y p = A x 2 + B x + C

Derivando nossa equação, temos:

y p ' = 2 A x + B

Vamos derivar mais duas vezes:

y p ' ' = 2 A

y p ' ' ' = 0

Substituindo y p ' ' ' e y p ' ' na equação y ' ' ' - y ' ' - 2 y ' = x - 2 , temos:

0 - 2 A - 2 2 A x + B = x - 2

- 2 A - 4 A x - 2 B = x - 2

Vamos igualar os termos de mesma ordem:

- 4 A = 1

- 2 A - 2 B = - 2

Da primeira equação, temos:

A = - 1 4

Substituindo A na segunda equação:

- 2 - 1 4 - 2 B = - 2

1 2 + 2 = 2 B

B = 5 4

Substituindo todos os coeficientes em y p , temos nossa solução particular:

y p = - x 2 4 + 5 x 4

Juntando a solução homogênea com a solução particular, temos nossa solução geral:

y x = c 1 + c 2 e - x + c 3 e 2 x - x 2 4 + 5 x 4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 + c 2 e - x + c 3 e 2 x - x 2 4 + 5 x 4

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